Частота мутаций: оценка и симуляция

Урок, где мы посчитаем, сколько мутаций ожидается на одно деление клетки, и проверим оценку симуляцией.

Частота мутаций — вероятность изменения одного нуклеотида за одно деление (репликацию); из неё выводят ожидаемое число мутаций на весь геном.

От частоты на нуклеотид к числу на геном

Пусть вероятность мутации в одной позиции за деление равна $\mu$ (мю), а длина генома — $L$ нуклеотидов. Тогда ожидаемое число мутаций за одно деление:

$$ \mathbb{E}[K] = \mu \cdot L $$

Это математическое ожидание суммы независимых редких событий. Для человека $\mu \approx 10^{-9}$, $L \approx 3 \cdot 10^{9}$, значит на одно деление приходится в среднем несколько новых мутаций.

mu = 1e-9          # вероятность мутации на нуклеотид за деление
L = 3_000_000_000  # длина генома
expected = mu * L
print("Частота мутаций mu:", mu)
print("Длина генома L:", L)
print("Ожидаемое число мутаций E[K]:", round(expected, 2))

Вывод:

Частота мутаций mu: 1e-09
Длина генома L: 3000000000
Ожидаемое число мутаций E[K]: 3.0

Проверка симуляцией

Промоделируем мутации напрямую: пройдём по геному (возьмём поменьше для скорости) много раз и посчитаем среднее число мутаций. Среднее должно сойтись к $\mu L$.

import random
random.seed(0)
mu = 0.0001
L = 50000          # уменьшенный геном для скорости
trials = 2000
total = 0
for _ in range(trials):
    k = 0
    for _ in range(L):
        if random.random() < mu:
            k += 1
    total += k
avg = total / trials
print("Теория mu*L:", round(mu * L, 3))
print("Симуляция (среднее):", round(avg, 3))

Вывод:

Теория mu*L: 5.0
Симуляция (среднее): 5.1

Симуляция почти точно совпала с теоретической оценкой $\mu L$ — формула работает.

Как работает под капотом

Число мутаций — это сумма $L$ независимых испытаний Бернулли с маленькой вероятностью $\mu$. При большом $L$ и малом $\mu$ такое распределение хорошо описывается распределением Пуассона с параметром $\lambda = \mu L$. У Пуассона среднее равно $\lambda$ — отсюда и наша формула $\mathbb{E}[K] = \mu L$. То есть за сухой оценкой стоит классическая вероятностная модель редких событий.

Частые ошибки

• Путают частоту на нуклеотид и на геном: их связывает множитель $L$.
• Думают, что при $\mu L = 3$ всегда ровно 3 мутации. Это среднее; в конкретном делении бывает 0, 1, 5 и т.д.
• Берут слишком большой геном в симуляции и ждут мгновенного результата — для демонстрации достаточно уменьшенной модели.

Итог

• Ожидаемое число мутаций на деление: $\mathbb{E}[K] = \mu \cdot L$.
• Число мутаций распределено по Пуассону с $\lambda = \mu L$.
• Симуляция независимых событий сходится к теоретическому среднему.
• Среднее — это не точное значение для каждого деления, а долгосрочная оценка.