Примеры: площадь и плотность

Урок-практикум: от измеренных сторон и массы до результата с погрешностью для площади и плотности.

Косвенное измерение завершается записью результата $f \pm \sigma_f$. Разберём два классических примера: площадь прямоугольника и плотность тела.

Теория обретает смысл на конкретных задачах. Возьмём две формулы, которые встречаются в любой лаборатории, и доведём расчёт погрешности до готового числа.

Пример 1: площадь прямоугольника

Площадь $S = a \cdot b$. Это произведение, значит складываются относительные погрешности:

$$\frac{\sigma_S}{S} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_b}{b}\right)^2}$$

Пусть $a = (10{,}0 \pm 0{,}1)$ см, $b = (5{,}0 \pm 0{,}1)$ см. Относительные погрешности: 1% и 2%. Их комбинация даёт относительную погрешность площади, а от неё — абсолютную.

Пример 2: плотность тела

Плотность $\rho = m / V$, где объём цилиндра $V = \pi r^2 h$. Здесь есть и частное, и квадрат радиуса. Относительная погрешность плотности:

$$\frac{\sigma_\rho}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_m}{m}\right)^2 + \left(2\,\frac{\sigma_r}{r}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_h}{h}\right)^2}$$

Обратите внимание на двойку перед относительной погрешностью радиуса — радиус входит в квадрате, поэтому его погрешность «весит» вдвое. Это прямое следствие правила степени.

Как работает под капотом

Посчитаем оба примера в коде. Для плотности увидим, как член с радиусом доминирует из-за множителя 2.

import math

# Пример 1: площадь
a, b = 10.0, 5.0
sa, sb = 0.1, 0.1
S = a * b
otn_S = ((sa / a) ** 2 + (sb / b) ** 2) ** 0.5
print(f"S = {S} ± {round(S * otn_S, 2)} см² (δ={round(otn_S*100,1)}%)")

# Пример 2: плотность
m, r, h = 200.0, 2.0, 8.0
sm, sr, sh = 0.5, 0.05, 0.1
V = math.pi * r**2 * h
rho = m / V
otn_rho = ((sm/m)**2 + (2*sr/r)**2 + (sh/h)**2) ** 0.5
print(f"ρ = {round(rho,3)} ± {round(rho*otn_rho,3)} г/см³ (δ={round(otn_rho*100,1)}%)")
print("Вклад радиуса в δ:", round(2*sr/r*100, 1), "%")

Вывод:

S = 50.0 ± 1.12 см² (δ=2.2%)
ρ = 1.989 ± 0.054 г/см³ (δ=2.7%)
Вклад радиуса в δ: 5.0 %

В плотности именно радиус (его относительная погрешность с множителем 2 даёт 5%, точнее, его квадрат под корнем) вносит основной вклад в итоговую погрешность. Вывод для практики: радиус нужно мерить особенно тщательно — он в квадрате.

Частые ошибки

Забывать множитель степени: для $r^2$ относительная погрешность удваивается.
Смешивать абсолютные и относительные погрешности в одной формуле.
Не выявлять доминирующий член: бессмысленно уточнять малозначимый вход, пока главный источник погрешности не укрощён.

Итог

Площадь $S = ab$: относительные погрешности сторон складываются по квадратам.
Плотность через объём цилиндра: радиус входит с множителем 2 (квадрат).
Полезно находить доминирующий член погрешности и улучшать именно его.
Результат записывают как $f \pm \sigma_f$ с согласованным округлением.