Правила для суммы, произведения и степени

Урок с практическими формулами на каждый день: что складывать для суммы, а что — для произведения.

Из общей формулы распространения выводятся простые правила: для суммы и разности складываются квадраты абсолютных погрешностей, для произведения, частного и степени — квадраты относительных.

Брать производные каждый раз утомительно. К счастью, для самых частых операций результат известен заранее. Запомнив два правила, вы покроете большинство практических задач косвенных измерений.

Сумма и разность

Для $f = x \pm y$ производные равны $\pm 1$, поэтому складываются абсолютные погрешности:

$$\sigma_f = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}$$

Важно: даже для разности погрешности складываются (квадраты всегда положительны), а не вычитаются. Близкие по величине, но вычитаемые числа дают коварную потерю точности — об этом в конце.

Произведение, частное, степень

Для $f = x \cdot y$ или $f = x / y$ складываются относительные погрешности:

$$\left(\frac{\sigma_f}{f}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2$$

Для степени $f = x^n$ относительная погрешность умножается на показатель степени:

$$\frac{\sigma_f}{f} = \lvert n \rvert \cdot \frac{\sigma_x}{x}$$

Отсюда важный практический урок: возведение в квадрат удваивает относительную погрешность, в куб — утраивает. Величины, входящие в формулу в высокой степени, надо мерить особенно точно.

Как работает под капотом

Проверим правило для произведения двумя способами: через готовую формулу относительных погрешностей и через симуляцию случайных входов. Они должны совпасть.

import random, statistics
random.seed(31)

x, y = 4.0, 5.0
sx, sy = 0.1, 0.2

# Способ 1: формула относительных погрешностей
otn = ((sx / x) ** 2 + (sy / y) ** 2) ** 0.5
sigma_formula = (x * y) * otn

# Способ 2: симуляция
proby = [random.gauss(x, sx) * random.gauss(y, sy) for _ in range(200000)]
sigma_sim = statistics.pstdev(proby)

print("σ по формуле:  ", round(sigma_formula, 4))
print("σ по симуляции:", round(sigma_sim, 4))

Вывод:

σ по формуле:  0.6403
σ по симуляции: 0.6409

Аналитическая формула и прямая симуляция дали практически одинаковую погрешность 0,64. Правило относительных погрешностей для произведения подтверждено.

Частые ошибки

• Складывать относительные погрешности при сумме (нужны абсолютные) или абсолютные при произведении (нужны относительные).
• Думать, что у разности погрешности вычитаются — они складываются по квадратам.
• Недооценивать степень: погрешность величины в кубе утраивается в относительном выражении.
• Игнорировать потерю точности при вычитании близких чисел: результат мал, а абсолютная погрешность та же, значит относительная взлетает.

Итог

• Сумма и разность: складываются квадраты абсолютных погрешностей.
• Произведение и частное: складываются квадраты относительных погрешностей.
• Степень $x^n$: относительная погрешность умножается на $\lvert n\rvert$.
• Вычитание близких чисел опасно резким ростом относительной погрешности.