Уравнение прямой и окружности
Представь GPS-навигатор в машине: он постоянно «видит» дорогу как прямую линию на карте и высчитывает, доехала ли машина до нужного поворота. А охранная система с датчиком движения «видит» вокруг себя круг — зону покрытия сенсора — и определяет, попал ли объект внутрь этого круга. И то, и другое можно описать одним уравнением: не рисунком, а формулой. В этом уроке разберём, как записываются уравнения самых важных фигур на плоскости — прямой и окружности.
На пальцах: уравнение — это правило «свой или чужой»
Представь, что уравнение фигуры — это пропускной пункт. У тебя есть точка с координатами $(x, y)$, и уравнение проверяет: подходит эта точка фигуре или нет. Если подставить координаты точки в уравнение и получится верное равенство — точка лежит на этой линии (прямой или окружности). Если равенство не сходится — точка где-то в стороне.
Например, прямая — это все точки, у которых есть общее правило: каждая следующая точка получается из предыдущей одинаковым «шагом» вверх/вниз при одинаковом шаге вправо. А окружность — это все точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от одного центра, как будто циркуль обвёл круг.
Строгое определение: уравнение прямой
Прямую на плоскости (кроме вертикальных прямых) чаще всего записывают в виде:
$$ y = kx + b $$
Здесь $k$ — это угловой коэффициент, он показывает, насколько круто прямая идёт вверх или вниз. Если $k$ большое положительное число — прямая круто взлетает слева направо. Если $k$ отрицательное — прямая идёт вниз. Если $k = 0$ — прямая горизонтальна.
$b$ — это точка, где прямая пересекает ось $y$ (то есть значение $y$ при $x = 0$).
Если известны две точки прямой $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, коэффициент $k$ находится так:
$$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
Строгое определение: уравнение окружности
Окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $r$ задаётся уравнением:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$
Смысл простой: расстояние от любой точки окружности $(x, y)$ до центра $(a, b)$ всегда равно $r$. А расстояние, как мы выяснили в прошлом уроке, — это корень из суммы квадратов разностей координат. Возведи обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня — и получишь именно это уравнение.
Пример 1. Находим уравнение прямой по двум точкам
Прямая проходит через точки $(1, 2)$ и $(3, 6)$. Найдём $k$ и $b$.
$$ k = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 $$
Теперь подставим одну из точек, например $(1, 2)$, в уравнение $y = kx + b$, чтобы найти $b$:
$$ 2 = 2 \cdot 1 + b \ \Rightarrow\ b = 0 $$
Уравнение прямой: $y = 2x$. Проверим на второй точке: при $x = 3$ получаем $y = 2 \cdot 3 = 6$ — совпадает.
Пример 2. Проверяем, лежит ли точка на окружности
Дана окружность с центром $(2, -1)$ и радиусом $5$. Лежит ли на ней точка $(5, 3)$?
Подставляем координаты точки в левую часть уравнения окружности:
$$ (5-2)^2 + (3-(-1))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $$
А правая часть — это $r^2 = 5^2 = 25$. Левая и правая части совпали, значит точка $(5, 3)$ действительно лежит на этой окружности.
Как это работает
Уравнение прямой $y = kx + b$ — это по сути инструкция «иди туда». Если ты сдвинулся на 1 единицу вправо по x, то по y ты обязан сдвинуться ровно на $k$ единиц — не больше и не меньше. Именно поэтому $k$ называют угловым коэффициентом: он жёстко фиксирует наклон, и прямая не может «вильнуть» в сторону — это её главное отличие от кривых линий.
Уравнение окружности работает по-другому: это не инструкция «иди туда», а условие «оставайся на одном и том же расстоянии от центра». Возведение в квадрат в этом уравнении — не случайная деталь: это тот же трюк, что и в формуле расстояния из прошлого урока, просто без квадратного корня, потому что мы сразу сравниваем не сами расстояния, а их квадраты — так удобнее считать.
Проверим вычисления в Python
import math
# Точки, через которые проходит прямая
x1, y1 = 1, 2
x2, y2 = 3, 6
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = y1 - k * x1
print("k =", k, " b =", b)
# Проверяем окружность: центр (2, -1), радиус 5
a, c, r = 2, -1, 5
px, py = 5, 3
left_side = (px - a)**2 + (py - c)**2
print("Левая часть уравнения:", left_side, " r^2 =", r**2)
print("Точка на окружности:", left_side == r**2)Вывод:
k = 2.0 b = 0.0
Левая часть уравнения: 25 r^2 = 25
Точка на окружности: TrueЧастые ошибки
Самая частая ошибка с прямой — перепутать знак при переносе $b$ через равенство, особенно когда точка имеет отрицательные координаты. Подставляй координаты аккуратно, по одной, и сразу проверяй результат на второй точке.
С окружностью типичная ошибка — забыть, что в уравнении стоит именно $r^2$, а не $r$. Если радиус окружности равен 5, то в правой части уравнения должно стоять 25, а не 5 — многие по невнимательности подставляют радиус напрямую.
Ещё одна ловушка — знаки центра окружности. Если центр находится в точке $(2, -1)$, то в уравнении будет $(x-2)^2 + (y-(-1))^2$, то есть $(y+1)^2$ — минус на минус даёт плюс, и об этом легко забыть.
Итоги
Прямая линия описывается уравнением $y = kx + b$, где $k$ отвечает за наклон, а $b$ — за точку пересечения с осью $y$. Окружность описывается уравнением $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, где $(a, b)$ — центр, а $r$ — радиус. Оба уравнения — это просто перевод геометрического смысла фигуры (наклон линии или равное расстояние от центра) на язык алгебры. В следующем уроке пойдём дальше — к векторам, которые тоже описываются координатами, но добавляют фигурам новую характеристику: не только положение, но и направление.