Координаты точек и расстояние между ними

Представь, что ты стоишь на школьном стадионе с разметкой, как на листе в клетку. Тренер стоит в одной точке поля, а мяч закатился в другую. Сколько метров придётся пробежать по прямой, чтобы его достать? Именно на такой вопрос отвечает координатная геометрия: если знать координаты двух точек, расстояние между ними можно вычислить без рулетки — просто по формуле.

В этом уроке разберём две базовые вещи, без которых не обходится ни одна задача с координатами: как найти расстояние между двумя точками и как найти точку ровно посередине между ними.

На пальцах: прямоугольный треугольник прячется в любом отрезке

Возьми две точки на координатной плоскости, которые не лежат на одной вертикальной или горизонтальной линии. Между ними — просто отрезок, гипотенуза какого-то невидимого треугольника. А теперь представь: от одной точки проведи линию строго вправо (или влево), а от второй — строго вниз (или вверх), пока они не пересекутся. Получится прямоугольный треугольник, у которого твой отрезок — гипотенуза, а два катета идут строго по горизонтали и по вертикали.

Длина горизонтального катета — это просто разница координат по x. Длина вертикального катета — разница координат по y. А дальше в дело вступает теорема Пифагора, которую ты наверняка уже видел: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Строгое определение

Пусть даны две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Расстояние между ними вычисляется по формуле:

$$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Это и есть теорема Пифагора, только записанная через координаты: $(x_2-x_1)$ — это катет по горизонтали, $(y_2-y_1)$ — катет по вертикали, а сам корень — гипотенуза, то есть искомое расстояние.

Есть ещё одна полезная точка — середина отрезка $AB$. Её координаты — это просто среднее арифметическое координат концов:

$$ M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right) $$

Пример 1. Считаем расстояние и середину

Даны точки $A(2, 3)$ и $B(7, 15)$. Найдём расстояние между ними.

Сначала находим катеты: разница по x равна $7 - 2 = 5$, разница по y равна $15 - 3 = 12$. Дальше применяем формулу:

$$ AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$

Расстояние оказалось ровно 13 — это не случайность, а знакомый набор чисел 5-12-13, один из «стандартных» прямоугольных треугольников с целыми сторонами (как и всем известный 3-4-5).

Середина отрезка: $M\left(\frac{2+7}{2},\ \frac{3+15}{2}\right) = M(4{,}5;\ 9)$.

Пример 2. Проверяем на другой паре точек

Возьмём точки $A(-3, 4)$ и $B(5, -2)$ — здесь координаты отрицательные, и важно не запутаться в знаках.

Разница по x: $5 - (-3) = 8$. Разница по y: $-2 - 4 = -6$. Знак минус при вычислении расстояния не страшен, потому что дальше мы это число возводим в квадрат:

$$ AB = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 $$

Середина: $M\left(\frac{-3+5}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right) = M(1;\ 1)$.

Как это работает

Почему формула расстояния вообще «превращается» в теорему Пифагора? Потому что мы искусственно достраиваем прямоугольный треугольник там, где его на первый взгляд нет. Любые две точки на плоскости можно соединить не только прямым отрезком, но и «уголком» — сначала пройти по горизонтали, потом по вертикали (как ходит ладья в шахматах, только в два хода). Длина этого «уголка» по частям — это и есть катеты. А прямой путь между точками — это кратчайший путь, то есть гипотенуза. Отсюда и корень с суммой квадратов.

С серединой отрезка ещё проще: если ты идёшь из точки A в точку B, то ровно на полпути ты пройдёшь ровно половину разницы по x и ровно половину разницы по y. Поэтому координаты середины — это просто среднее двух чисел, отдельно для x и отдельно для y.

Проверим вычисления в Python

Формула расстояния — это ровно то же самое, что вычисляет функция math.sqrt. Проверим первый пример из урока:

import math

x1, y1 = 2, 3
x2, y2 = 7, 15

distance = math.sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)
mx, my = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2

print("Расстояние AB:", distance)
print("Середина отрезка:", (mx, my))

Вывод:

Расстояние AB: 13.0
Середина отрезка: (4.5, 9.0)

Частые ошибки

Первая и самая обидная ошибка — забыть возвести разницу координат в квадрат и вместо этого сложить модули или вообще саму разницу. Формула работает только с квадратами: $(x_2-x_1)^2$, а не $|x_2-x_1|$ и уж точно не просто $x_2-x_1$.

Вторая ошибка — перепутать порядок вычитания и забыть про скобки при отрицательных координатах. $5 - (-3)$ — это $8$, а не $2$. Если координата отрицательная, всегда заключай её в скобки при подстановке в формулу.

Третья ошибка — для середины отрезка складывать координаты, но забыть поделить на 2. Середина — это именно среднее арифметическое, а не сумма.

Итоги

Расстояние между точками на плоскости — это теорема Пифагора, применённая к разнице координат. Формула $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ работает для любых двух точек, включая отрицательные координаты — главное аккуратно расставлять скобки. Середина отрезка находится ещё проще — как среднее арифметическое координат концов. Эти две формулы — фундамент, на котором строится вся дальнейшая координатная геометрия: уравнение окружности, о котором пойдёт речь в следующем уроке, тоже опирается на формулу расстояния.