Лобовое сопротивление и подъёмная сила

Урок о силах, которые поток создаёт на обтекаемом теле: сопротивлении и подъёмной силе.

Лобовое сопротивление — сила, с которой поток тормозит движущееся в нём тело, направленная против движения.

Автомобиль на трассе, парашют, велосипедист, крыло самолёта — все взаимодействуют с потоком воздуха или воды. Эти силы определяют расход топлива, дальность полёта и устойчивость конструкций.

Формула сопротивления

$$ F_d = C_d\, \frac{\rho v^2}{2}\, A $$

где $C_d$ — безразмерный коэффициент лобового сопротивления, $\rho$ — плотность среды, $v$ — скорость обтекания, $A$ — характерная (как правило, площадь миделя — проекции тела на плоскость, перпендикулярную потоку). Множитель $\rho v^2/2$ — знакомое динамическое давление. Сопротивление растёт как квадрат скорости: поэтому на трассе расход топлива резко выше, чем в городе.

Коэффициент сопротивления

Коэффициент $C_d$ зависит от формы тела и числа Рейнольдса. Ориентиры: обтекаемая капля $\approx 0{,}04$, сфера $\approx 0{,}47$, легковой автомобиль $0{,}25\ldots 0{,}35$, плоский диск поперёк потока $\approx 1{,}1$, парашют $\approx 1{,}3$. Обтекаемая форма (капля, профиль крыла) даёт малый $C_d$, потому что поток сходит с тела плавно, без обширной вихревой зоны позади.

Считаем сопротивление автомобиля

Автомобиль с миделем $A = 2{,}2\ \text{м}^2$ и $C_d = 0{,}30$ едет со скоростью $100\ \text{км/ч}$ в воздухе ($\rho = 1{,}225\ \text{кг/м}^3$). Найдём силу сопротивления и мощность на её преодоление.

import math

rho = 1.225
Cd = 0.30
A = 2.2
v = 100 / 3.6      # м/с

F_drag = Cd * rho * v ** 2 / 2 * A     # сила сопротивления, Н
P = F_drag * v                         # мощность, Вт

print(round(v, 3))
print(round(F_drag, 2))
print(round(P, 1))
print(round(P / 1000, 3))     # кВт

Вывод:

На скорости $100\ \text{км/ч}$ воздух тормозит машину силой $\approx 312\ \text{Н}$, а на её преодоление уходит $\approx 8{,}7\ \text{кВт}$ мощности. При $200\ \text{км/ч}$ сила вырастет вчетверо, а мощность — в восемь раз: сопротивление $\propto v^2$, мощность $\propto v^3$.

Подъёмная сила

Подъёмная сила — составляющая силы потока, перпендикулярная направлению обтекания.

$$ F_l = C_l\, \frac{\rho v^2}{2}\, A $$

Крыло устроено так, что поток над ним движется быстрее, чем под ним. По уравнению Бернулли сверху давление ниже, снизу выше — разность давлений даёт подъёмную силу. Коэффициент $C_l$ растёт с углом атаки до некоторого предела, после которого поток срывается (сваливание), и подъёмная сила резко падает.

Как работает под капотом

Сопротивление складывается из двух частей: сопротивления трения (вязкий слой у поверхности) и сопротивления формы (давление в вихревой зоне позади тела). У плохо обтекаемых тел доминирует сопротивление формы: позади образуется широкий вихревой след с пониженным давлением, который «тянет» тело назад. Обтекаемая форма уводит точку отрыва потока назад, сужает след и резко снижает $C_d$. Квадратичная зависимость от скорости здесь та же, что у динамического давления, потому что и подъёмная сила, и сопротивление по сути собирают разности давления $\sim \rho v^2/2$ по поверхности тела.

Частые ошибки

Берут полную площадь поверхности вместо площади миделя.
Считают сопротивление пропорциональным скорости, а мощность — её квадрату (на деле $v^2$ и $v^3$).
Используют плотность воды для расчётов в воздухе и наоборот.
Думают, что подъёмная сила растёт с углом атаки безгранично, забывая про срыв потока.

Итог

Лобовое сопротивление: $F_d = C_d\,(\rho v^2/2)\,A$, растёт как квадрат скорости.
Мощность на преодоление сопротивления растёт как куб скорости.
Коэффициент $C_d$ зависит от формы: обтекаемые тела имеют малый $C_d$.
Подъёмная сила $F_l = C_l\,(\rho v^2/2)\,A$ возникает из разности давлений по Бернулли.