Реакция струи и теорема об изменении импульса

Урок о силе, с которой струя бьёт по преграде, и почему трубу в повороте надо закреплять.

Теорема об изменении импульса: результирующая сила, действующая на жидкость в контрольном объёме, равна изменению её импульса в единицу времени.

Струя из брандспойта отдаёт в руки пожарного, ракета летит за счёт выброса газов, поворот трубы стремится разогнуться под напором воды. Всё это — проявления одного закона: изменения импульса потока.

Поток импульса

Через сечение с расходом $Q$ за секунду проходит масса $\rho Q$, несущая импульс $\rho Q v$. Если поток меняет скорость или направление, его импульс меняется, и по второму закону Ньютона на жидкость действует сила. По третьему закону жидкость с такой же силой действует на тело (преграду, стенку трубы):

$$ \vec F = \rho Q\,(\vec v_2 - \vec v_1) $$

Это векторное уравнение: учитываются и величина, и направление скоростей на входе и выходе контрольного объёма.

Сила струи на неподвижную пластину

Струя площадью $A$ со скоростью $v$ ударяет перпендикулярно в стенку и растекается, теряя осевую скорость. Изменение осевого импульса даёт силу:

$$ F = \rho Q v = \rho A v^2 $$

Сила пропорциональна квадрату скорости — вдвое более быстрая струя бьёт вчетверо сильнее.

Считаем силу струи и реакцию в колене

import math

rho = 1000.0
d = 0.02         # диаметр сопла, м
v = 25.0         # скорость струи, м/с

A = math.pi * (d / 2) ** 2
Q = v * A
F_plate = rho * Q * v        # сила на плоскую стенку, Н

# колено на 90 градусов: импульс меняет направление
# F = rho*Q*v по каждой оси, модуль = rho*Q*v*sqrt(2)
F_elbow = rho * Q * v * math.sqrt(2)

print(round(Q * 1000, 3))    # л/с
print(round(F_plate, 2))
print(round(F_elbow, 2))

Вывод:

7.854
196.35
277.68

Струя из сопла $20\ \text{мм}$ при $25\ \text{м/с}$ давит на стенку с силой $\approx 196\ \text{Н}$ — это вес $20\ \text{кг}$. В колене на $90^\circ$ импульс меняет направление по обеим осям, и равнодействующая ещё больше — около $278\ \text{Н}$. Поэтому повороты напорных труб крепят упорными блоками.

Реактивная тяга

Если жидкость выбрасывается из сопла назад, тело получает тягу вперёд:

$$ F_{\text{тяги}} = \rho Q v = \dot m\, v $$

Это принцип реактивного движения: сегнерово колесо, водомётный катер, в пределе — ракетный двигатель. Чем больше массовый расход и скорость выброса, тем сильнее тяга.

Как работает под капотом

Ключ к таким задачам — метод контрольного объёма. Мы мысленно очерчиваем область пространства и следим только за тем, что втекает и вытекает через её границы, не вникая в детали внутри. Втекающий поток несёт импульс внутрь, вытекающий — наружу; их разность за секунду равна силе на содержимое объёма. Удобство в том, что не нужно знать давление и скорость в каждой точке — достаточно условий на входе и выходе. Именно так инженеры считают тягу турбин и силы на лопатках, не решая полных уравнений течения.

Частые ошибки

Складывают скорости как скаляры, забывая про направление (это векторное уравнение).
Берут силу пропорциональной скорости, а не её квадрату для струи на стенку.
Забывают про вклад давления на входе/выходе в напорных трубах.
Не учитывают, что в колене сила складывается по двум осям.

Итог

Теорема об импульсе: $\vec F = \rho Q\,(\vec v_2 - \vec v_1)$.
Сила струи на стенку: $F = \rho A v^2$ — пропорциональна квадрату скорости.
В повороте трубы импульс меняет направление, создавая реакцию — нужны упоры.
Реактивная тяга $F = \dot m\, v$ — основа реактивного движения.