Циркуляция и теорема Кутты — Жуковского

Откуда именно берётся подъёмная сила? Строгий ответ дал русский учёный Н. Е. Жуковский.

Циркуляция $\Gamma$ — мера «закрученности» потока вокруг крыла, интеграл скорости по замкнутому контуру; именно она математически порождает подъёмную силу.

«Над крылом быстрее, снизу медленнее» — это полезная картинка, но настоящая физика глубже. Подъёмная сила связана с тем, что поток вокруг крыла приобретает циркуляцию — словно вокруг профиля наложен слабый вихрь.

Что такое циркуляция

Если обойти крыло по замкнутому контуру и сложить проекции скорости вдоль пути, получится циркуляция:

$$ \Gamma = \oint \vec{v}\cdot d\vec{l} $$

У крыла, создающего подъёмную силу, поток сверху обгоняет поток снизу, поэтому такой обход даёт ненулевое значение $\Gamma$. Теорема Кутты — Жуковского связывает подъёмную силу на единицу размаха крыла $L'$ напрямую с циркуляцией:

$$ L' = \rho\, v\, \Gamma $$

Считаем подъёмную силу через циркуляцию

import math
rho = 1.225   # кг/м^3
v = 50.0      # м/с
for Gamma in (10, 20, 30):
    L_per_span = rho * v * Gamma
    print(f"Gamma={Gamma:3d} м^2/с: L' = {L_per_span:6.0f} Н/м размаха")

Вывод:

Gamma= 10 м^2/с: L' =    613 Н/м размаха
Gamma= 20 м^2/с: L' =   1225 Н/м размаха
Gamma= 30 м^2/с: L' =   1838 Н/м размаха

Условие Кутты: почему циркуляция именно такая

Возникает вопрос: почему циркуляция принимает строго определённое значение, а не любое? Ответ — условие Кутты: поток должен плавно сходить с острой задней кромки, не огибая её. Природа сама подбирает такую циркуляцию, чтобы это выполнялось. Именно острая задняя кромка профиля «фиксирует» нужный вихрь.

Как работает под капотом

При разгоне самолёта с задней кромки срывается так называемый стартовый вихрь. По закону сохранения вращения вокруг крыла возникает равный и противоположный связанный вихрь — это и есть циркуляция $\Gamma$. Она остаётся с крылом всё время полёта и создаёт подъёмную силу. Теорема $L'=\rho v \Gamma$ работает для любого профиля, как бы причудлив он ни был.

Частые ошибки

Считать, что воздух «должен встретиться» за крылом за одно время. Это популярный миф; в реальности верхний поток приходит к задней кромке раньше нижнего.
Путать циркуляцию с реальным круговым движением воздуха. Молекулы не летают по кругу — циркуляция это интегральная характеристика поля скоростей.
Забывать, что $L'$ — сила на единицу размаха, а не на всё крыло.

Итог

Подъёмная сила строго связана с циркуляцией: $L'=\rho v\Gamma$ (теорема Кутты — Жуковского).
Условие Кутты на острой задней кромке задаёт единственное физичное значение $\Gamma$.
Циркуляция — это интеграл скорости по контуру, а не буквальное круговое движение воздуха.