Стандартная атмосфера: давление и плотность с высотой

Чтобы сравнивать самолёты честно, инженеры договорились об «эталонном» воздухе — стандартной атмосфере.

Международная стандартная атмосфера (ISA) — условная модель воздуха, где у земли $p_0=101325$ Па, $T_0=15°C$, $\rho_0=1{,}225$ кг/м³, а температура падает с высотой по фиксированному закону.

Реальный воздух разный в Сахаре и в Сибири. Чтобы характеристики самолёта (скорость, потолок, дальность) не зависели от погоды, их приводят к стандартной атмосфере. Это общий «измерительный стенд» для всей авиации.

Тропосфера: линейное падение температуры

В нижнем слое (тропосфере, до 11 км) температура падает почти линейно с темпом $L \approx 0{,}0065$ К/м (это вертикальный градиент):

$$ T(h) = T_0 - L\,h $$

Давление падает не линейно, а по барометрической формуле, которая выводится из условия гидростатического равновесия столба воздуха:

$$ p(h) = p_0 \left(\frac{T_0 - L h}{T_0}\right)^{\frac{g}{R L}} $$

А плотность затем находим из уравнения состояния: $\rho(h) = \dfrac{p(h)}{R\,T(h)}$.

Считаем атмосферу до 11 км

import math
p0 = 101325.0; T0 = 288.15; L = 0.0065
g = 9.80665; R = 287.05
for h in (0, 2000, 5000, 11000):
    T = T0 - L * h
    p = p0 * (T / T0) ** (g / (R * L))
    rho = p / (R * T)
    print(f"h={h:5d} м: T={T-273.15:5.1f} C  p={p/1000:5.1f} кПа  rho={rho:.3f} кг/м^3")

Вывод:

h=    0 м: T= 15.0 C  p=101.3 кПа  rho=1.225 кг/м^3
h= 2000 м: T=  2.0 C  p= 79.5 кПа  rho=1.006 кг/м^3
h= 5000 м: T=-17.5 C  p= 54.0 кПа  rho=0.736 кг/м^3
h=11000 м: T=-56.5 C  p= 22.6 кПа  rho=0.364 кг/м^3

Как работает под капотом

Барометрическая формула — это решение простого уравнения: вес тонкого слоя воздуха $dp = -\rho g\, dh$ уравновешивается перепадом давления. Подставив сюда $\rho=p/(RT)$ и линейный профиль температуры, после интегрирования и получаем степенную зависимость. Показатель степени $g/(RL) \approx 5{,}26$ — он-то и делает падение давления быстрым.

Частые ошибки

• Применять эту формулу выше 11 км. В стратосфере (11–20 км) температура постоянна, и формула давления уже другая — экспоненциальная.
• Думать, что плотность падает так же, как давление. На высоте холоднее, поэтому плотность падает чуть медленнее, чем давление (см. числа выше).
• Забывать, что ISA — это модель: в реальный день параметры отличаются, и приборы это учитывают.

Итог

• ISA задаёт эталонный воздух; характеристики самолётов приводят к ней.
• В тропосфере $T$ падает линейно, $p$ — по степенной барометрической формуле, $\rho$ считается из $p=\rho R T$.
• На 11 км плотность падает примерно до $0{,}36$ кг/м³ — почти втрое меньше, чем у земли.