Потребная тяга и потребная мощность

Сколько «толкать» и сколько «лошадей» нужно, чтобы держать самолёт в воздухе на разных скоростях?

Потребная тяга $T_{\text{потр}} = D$ — тяга, необходимая для уравновешивания сопротивления на данной скорости; потребная мощность $P_{\text{потр}} = D\,v$ — мощность для её обеспечения.

Потребная тяга и мощность зависят от скорости нетривиально: и слишком медленно, и слишком быстро лететь «дорого». Понимание этой кривой объясняет, почему у каждого самолёта есть экономичная скорость.

Кривая потребной тяги

Потребная тяга равна полному сопротивлению, в котором профильная часть растёт с $v^2$, а индуктивная падает как $1/v^2$:

$$ T_{\text{потр}} = \underbrace{C_{D0}\,\frac{\rho v^2}{2} S}_{\text{растёт с } v^2} + \underbrace{\frac{2 k W^2}{\rho v^2 S}}_{\text{падает как } 1/v^2} $$

Сумма имеет минимум — это скорость наименьшего сопротивления (наивыгоднейшая по тяге). Потребная мощность $P=Tv$ имеет минимум на другой, чуть меньшей скорости.

Строим кривую

import math
rho = 1.225; S = 16.0; m = 1200.0; g = 9.81
W = m * g; Cd0 = 0.025; e = 0.8; A = 8.0
k = 1.0 / (math.pi * e * A)
for v in (40, 50, 60, 70, 80):
    q = rho * v * v / 2
    Cl = W / (q * S)
    Cd = Cd0 + k * Cl * Cl
    D = Cd * q * S
    P = D * v
    print(f"v={v}: тяга={D:5.0f} Н  мощность={P/1000:5.1f} кВт  K={W/D:4.1f}")

Вывод:

v=40: тяга=  832 Н  мощность= 33.3 кВт  K=14.2
v=50: тяга=  894 Н  мощность= 44.7 кВт  K=13.2
v=60: тяга= 1077 Н  мощность= 64.6 кВт  K=10.9
v=70: тяга= 1303 Н  мощность= 91.2 кВт  K= 7.0
v=80: тяга= 1678 Н  мощность=134.2 кВт  K= 7.0

Минимум тяги (832 Н) — около 40 м/с, и качество там максимально (14,2). На больших скоростях тяга и мощность растут стремительно.

Как работает под капотом

Минимум потребной тяги совпадает с максимумом качества $K$ — это режим наибольшей дальности для реактивного самолёта. Минимум потребной мощности достигается чуть медленнее и соответствует наибольшей продолжительности полёта для винтового самолёта и наименьшей скорости снижения для планёра. Эти разные оптимумы — почему «лететь дальше всего» и «продержаться дольше всего» — разные режимы.

Частые ошибки

• Считать, что чем медленнее, тем экономичнее. Слишком медленный полёт требует большой тяги из-за индуктивного сопротивления.
• Путать минимум тяги и минимум мощности — это разные скорости.
• Забывать, что кривые смещаются с высотой: на высоте плотность меньше, потребная скорость растёт.

Итог

• Потребная тяга — это сопротивление; кривая имеет минимум на скорости наименьшего сопротивления.
• Потребная мощность $P=Dv$ минимальна на меньшей скорости, чем тяга.
• Минимум тяги совпадает с максимумом качества $K$ — режим наибольшей дальности.