Почему нельзя справедливо поделить торт на троих: теория игр

Представь: день рождения, на столе один торт, а вас трое. Каждый хочет кусок не меньше, чем у других — и желательно с той самой розочкой. Кажется, ерунда: бери нож и режь. Но за этим простым тортом прячется целый раздел математики, над которым учёные бились почти сто лет.

Двое — это легко

Начнём с простого случая: торт делят двое. Есть гениальный приём, который ты наверняка сам изобретал в детстве, не зная, что это математика. Называется он «я режу — ты выбираешь».

Один человек разрезает торт на два куска. Второй первым выбирает, какой кусок забрать. В чём прелесть? Тот, кто режет, кровно заинтересован сделать куски как можно более равными. Ведь если он отрежет себе огромную часть и крохотную, второй просто заберёт большую — и режущий останется с крохами. Поэтому он старается резать честно.

Математики называют такой делёж свободным от зависти: каждый считает свой кусок не хуже чужого. Никто не смотрит на соседа со словами «а почему ему больше?». Для двоих это работает безупречно и всегда.

Главный секрет справедливости — не в том, чтобы куски были одинаковыми по граммам, а в том, чтобы каждый был доволен своим куском.

А почему «доволен» — это не то же самое, что «поровну»?

Тут важная тонкость. Торт ведь неоднородный: где-то клубника, где-то шоколадная глазурь, где-то сухой бисквит. Один обожает ягоды, другой терпеть их не может и охотится за кремом. Поэтому «справедливо» — понятие субъективное.

Представь, что ты делишь не торт, а пиццу: половина с грибами, половина с пепперони. Если один любит грибы, а другой — мясо, то «равные» половинки сделают обоих счастливыми, хотя по площади они хоть и одинаковы, но по ценности для каждого — совершенно разные. Хороший делёж учитывает вкусы, а не только линейку.

Именно поэтому математики говорят не про «равные куски», а про куски, которые каждый участник оценивает минимум в свою честную долю. Для троих это «не меньше трети по моим личным меркам».

И вот тут начинается беда с тремя

Казалось бы: добавили третьего — добавим ещё пару разрезов, и всё. Но фокус «режу — выбираешь» на троих ломается. Если ты режешь на три части, а двое других выбирают раньше тебя, тебе остаётся последний кусок — и нет никакой гарантии, что он тебя устроит.

В 1940-х годах польские математики придумали процедуру, которая хотя бы гарантирует каждому из троих не меньше трети по его собственной оценке. Работает она примерно так:

• Первый отрезает кусок, который считает ровно своей третью.
• Второй смотрит: если, по его мнению, кусок слишком большой — он подрезает его до своей трети. Если нормальный — не трогает.
• Третий тоже может подрезать.
• Кусок достаётся тому, кто подрезал последним (или первому, если никто не тронул). Остальные двое делят остаток приёмом «режу — выбираешь».

Это честно в смысле «каждому досталось не меньше трети». Но — внимание — зависть всё равно возможна. Кто-то может посмотреть на чужой кусок и подумать: «а вот его-то я бы оценил больше своего». Долю он получил честную, но всё равно завидует.

Главный подвох: убрать зависть оказалось дьявольски трудно

Вот в чём настоящая математическая драма. Гарантировать каждому из троих честную долю — относительно просто. А вот добиться, чтобы никто никому не завидовал — задача совсем другого уровня.

Для троих первый честный без зависти алгоритм нашли только в 1960-х (его связывают с именами Селфриджа и Конвея). Он хитрее: куски не просто режут, а оставляют «запас», который потом доделивают отдельно, чтобы погасить любую возможную зависть. Несколько раундов разрезаний — и наконец-то никто не смотрит на соседа с обидой.

А вот для четверых и больше вопрос «существует ли вообще честный без зависти делёж за конечное число разрезов» оставался открытым десятилетиями. Ответ — да, существует! — нашли совсем недавно, в 2016 году, и алгоритм оказался настолько громоздким, что число шагов в нём астрономическое. То есть теоретически поделить можно, а практически за одним столом — почти невозможно.

Зачем это всё, кроме тортов?

Может показаться, что это игра ума ради тортика. Но «честный делёж» — это про любую ситуацию, где надо разделить что-то неделимое поровну и без обид:

• наследство между родственниками;
• раздел имущества при разводе;
• распределение частот для радиостанций и интернета;
• дележ спорной территории между странами;
• как соседи по комнате делят аренду и обязанности.

Везде один и тот же вопрос: как сделать так, чтобы каждый ушёл довольным и никому не завидовал. Теория игр — это, по сути, математика про то, как люди принимают решения, когда их интересы сталкиваются.

Так что в следующий раз, когда будешь делить торт на дне рождения, помни: ты не просто орудуешь ножом. Ты решаешь задачу, над которой математики думали почти столетие — и до сих пор не для всех случаев нашли по-настоящему удобный ответ. Самый честный совет на практике до сих пор прост: пусть режет один, а выбирают первыми все остальные. И тот, кто с ножом, внезапно становится самым справедливым человеком за столом.