Парадокс Монти Холла: менять ли выбранную дверь

Представь: перед тобой три двери. За одной — новенький автомобиль, за двумя другими — козы. Ты ткнул пальцем в дверь, а ведущий вдруг открывает одну из оставшихся и показывает козу. И спрашивает: «Хочешь поменять выбор?» Кажется, что без разницы. А вот и нет.

Откуда взялся этот странный парадокс

История родом из американского телешоу «Let's Make a Deal», которое вёл человек по имени Монти Холл. Отсюда и название. Правила игры простые: три двери, за одной спрятан главный приз, за двумя — что-нибудь бесполезное (в классической версии — козы).

Ты выбираешь дверь, но не открываешь её. Дальше ведущий, который точно знает, где приз, открывает одну из двух оставшихся дверей — и за ней всегда оказывается коза. Теперь на сцене две закрытые двери: твоя и ещё одна. Ведущий предлагает либо остаться при своём, либо переключиться. Что делать?

Большинство людей пожимают плечами: «Осталось две двери, шансы пятьдесят на пятьдесят, какая разница». Эта мысль настолько заразительна, что в неё попадали даже профессора математики. Когда в 1990 году журналистка Мэрилин вос Савант написала, что менять дверь выгоднее, ей пришли тысячи возмущённых писем, в том числе от людей с учёными степенями. И все они ошибались.

Почему интуиция тебя обманывает

Давай разберёмся честно, с самого начала. В момент первого выбора у тебя один шанс из трёх угадать дверь с машиной. Это значит, что с вероятностью 1/3 приз у тебя, а с вероятностью 2/3 он за одной из двух других дверей. Пока всё очевидно.

А теперь главный фокус. Ведущий не открывает дверь наугад. Он знает, где приз, и специально открывает пустую. Этим действием он не меняет твою стартовую вероятность 1/3 — она как была, так и осталась. Но все эти 2/3, которые «жили» в двух других дверях, теперь схлопываются в одну-единственную закрытую дверь.

Твоя дверь — это 1/3. Вторая закрытая дверь — это целых 2/3. Поменять выбор значит почти удвоить свои шансы.

Вот в чём ловушка: кажется, что открытая дверь «обнуляет» прошлое и начинает игру заново с двумя равными вариантами. Но прошлое никуда не делось. Ведущий слил тебе информацию — он показал, где приза точно нет. И эта подсказка работает на ту дверь, которую ты не выбирал.

Аналогия со ста дверями

Если на трёх дверях мозг всё ещё бунтует — увеличим масштаб. Представь не три двери, а сто. За одной машина, за девяноста девятью — козы.

Ты тыкаешь в дверь номер 17. Шанс, что угадал, — один на сто, то есть почти ноль. Скорее всего, машина где-то среди остальных девяноста девяти. А теперь ведущий, зная расклад, открывает девяносто восемь пустых дверей одну за другой. Остаётся твоя дверь номер 17 и, скажем, дверь номер 64.

Чувствуешь, да? Дверь 64 будто светится. Ведущий перебрал почти всю комнату, аккуратно обошёл именно её и оставил закрытой. Менять выбор тут хочется почти инстинктивно. А математически это ровно тот же парадокс, просто числа делают его очевидным: твоя дверь — 1/100, а дверь 64 — целых 99/100.

• Остаёшься при своём — выигрываешь в 1 случае из 3 (или из 100).
• Меняешь дверь — выигрываешь в 2 случаях из 3 (или в 99 из 100).

Проверь сам — это легко

Не верь на слово, в том числе и мне. Парадокс Монти Холла прекрасен тем, что его можно пощупать руками за пять минут.

Возьми друга и три игральные карты: один туз (это машина) и две любые другие (козы). Пусть друг будет ведущим: тайком раскладывает карты рубашкой вверх и помнит, где туз. Ты тычешь в карту. Друг переворачивает одну из оставшихся «козу». Дальше играете по уговору — например, всегда меняем выбор. Сыграйте так раундов тридцать и считайте победы.

Если будешь честно всегда менять карту, туз будет выпадать примерно в двух случаях из трёх. Сыграй ещё тридцать раундов, никогда не меняя выбор, — и победы скатятся к одной трети. Цифры упрямы, и они на стороне смены.

А ещё это можно поручить компьютеру: пара строк кода прогоняют миллион игр за секунду, и доли 1/3 и 2/3 проступают с почти аптекарской точностью. Так что в следующий раз, когда жизнь даст тебе шанс передумать после новой подсказки, вспомни Монти Холла. Иногда поменять решение — это не слабость, а холодный математический расчёт.