Как найти наименьшее значение функции с логарифмом или корнем в задании 11 ЕГЭ?

Схема та же, что и для многочленов (y' = 0, проверка знаков), но есть приёмы, которые сильно упрощают «страшные» функции.

Приём 1 — монотонность внешней функции. Логарифм ln(t) и корень √t возрастают. Значит, наименьшее значение y = ln(f(x)) достигается там же, где наименьшее значение внутренней f(x). Не нужно дифференцировать весь логарифм — найди минимум выражения под знаком.

Пример: y = ln(x² − 4x + 5). Внутри парабола f(x) = x² − 4x + 5, её минимум в вершине x = 2 (там f = 1). Значит, наименьшее значение y = ln(1) = 0.

Приём 2 — производная сложной функции, когда первый приём не подходит. Дифференцируем по правилу цепочки:

• (ln u)' = u'/u,
• (√u)' = u' / (2√u),
• (eˣ·что-то и т.п.). Приравниваем y' = 0. Знаменатель (например u или √u) на знак влияет, но обнуляет производную только числитель, поэтому решаем именно u' = 0 (с учётом ОДЗ).

Пример: y = x − ln x на (0; +∞). y' = 1 − 1/x = 0 → x = 1. Слева от 1 производная отрицательна, справа положительна → это минимум. y(1) = 1 − ln1 = 1.

Частая ошибка — не учесть ОДЗ: под корнем ≥ 0, под логарифмом > 0. Минимум ищем только внутри допустимых x.