Как находить промежутки возрастания и убывания функции по графику производной в ЕГЭ?
Дают график производной f'(x), а просят найти промежутки возрастания функции или количество точек экстремума. Я путаю график функции и график её производной. Как по графику производной найти возрастание, убывание и экстремумы в ЕГЭ?
2 ответа
Тут главное — не путать: на картинке нарисован график производной f'(x), а вопросы про саму функцию f(x). Связь такая:
- Где f'(x) > 0 (график производной над осью X) — функция f(x) возрастает.
- Где f'(x) < 0 (график производной под осью X) — функция f(x) убывает.
- Где f'(x) = 0 и меняет знак (график пересекает ось X) — у функции экстремум (максимум или минимум).
Как читать конкретные вопросы:
- «Промежутки возрастания» → найди интервалы, где график производной выше оси X.
- «Количество точек экстремума» → посчитай, сколько раз график производной пересекает ось X (именно пересекает со сменой знака, а не касается).
- «Точки максимума» → там, где f'(x) меняет знак с «+» на «−» (производная сверху уходит под ось).
- «Точки минимума» → смена с «−» на «+».
Пример: график производной пересекает ось X в точках −2, 1, 4. Значит, у функции 3 точки экстремума (в каждой производная меняет знак).
Главная ошибка — отвечать так, будто нарисована сама функция: искать «где график растёт» вместо «где производная положительна». Всегда помни: дан график f'(x), а спрашивают про f(x).
Короткая шпаргалка для графика производной:
- Производная над осью (+) → функция растёт.
- Производная под осью (−) → функция падает.
- Производная пересекает ось → экстремум функции.
Точки, где график производной просто касается оси, но не пересекает (знак не меняется), — это не экстремумы. Считай только пересечения со сменой знака.