Как написать уравнение касательной к графику функции в ЕГЭ?
Попалось задание: написать уравнение касательной к графику функции в заданной точке. Я знаю про производную, но не понимаю, как собрать саму прямую. Как составить уравнение касательной к графику функции в ЕГЭ? Дайте формулу и пример.
2 ответа
Уравнение касательной к графику y = f(x) в точке с абсциссой x₀:
y = f(x₀) + f'(x₀)·(x − x₀)
Здесь f(x₀) — значение функции в точке (ордината точки касания), f'(x₀) — производная в этой точке (угловой коэффициент касательной, её наклон).
Алгоритм:
- Посчитай f(x₀) — подставь x₀ в саму функцию.
- Найди производную f'(x) и посчитай f'(x₀).
- Подставь оба числа в формулу и упрости до вида y = kx + b.
Пример: f(x) = x², точка касания x₀ = 1.
- f(1) = 1² = 1.
- f'(x) = 2x, значит f'(1) = 2.
- Подставляем: y = 1 + 2·(x − 1) = 1 + 2x − 2 = 2x − 1.
Значит, касательная — это прямая y = 2x − 1.
Частые ошибки:
- Путают f(x₀) (значение функции, ордината точки) и f'(x₀) (производная, наклон). В формуле они на разных местах.
- Забывают посчитать f(x₀) и берут вместо него x₀.
Если в задаче дано значение углового коэффициента касательной (например, «касательная параллельна прямой y = 3x») — это значит f'(x₀) = 3, и тогда сначала из этого уравнения находишь x₀.
Запомни формулу как «значение плюс производная на (x минус x ноль)»: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
Если вместо точки дано условие про наклон («касательная параллельна y = kx + b» → f'(x₀) = k; «образует угол 45° с осью» → f'(x₀) = tg45° = 1), то сперва из f'(x₀) = k находишь x₀, дальше по формуле.