Как делать вычисления и преобразования выражений в ЕГЭ (степени, корни, дроби)?
Есть задания на «голые» вычисления: упростить выражение со степенями и корнями или посчитать числовое значение. Я путаюсь в свойствах степеней. Как делать преобразования выражений в ЕГЭ со степенями, корнями и дробями?
2 ответа
Всё держится на нескольких свойствах — выучи их, и эти задания станут механическими.
Степени:
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (при умножении степени складываются).
- aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (при делении вычитаются).
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (при возведении перемножаются).
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ (отрицательная степень = «перевернуть»).
- a⁰ = 1, a^(1/2) = √a.
Корни:
- √a · √b = √(a·b).
- √(a/b) = √a / √b.
- √(a²·b) = a·√b (выносим из-под корня).
Примеры из вариантов:
- 2⁵ · 2³ / 2⁶ = 2^(5+3−6) = 2² = 4.
- √12 · √3 = √36 = 6.
- √50 = √(25·2) = 5√2.
- (3⁴)² / 3⁵ = 3⁸ / 3⁵ = 3³ = 27.
Типичный приём — привести всё к одному основанию (например, 8 = 2³, 27 = 3³, 0.5 = 2⁻¹), тогда степени легко складываются и вычитаются.
Частые ошибки: при умножении степеней по ошибке перемножают показатели (надо складывать!), и наоборот при возведении степени в степень складывают (надо перемножать). Держи разницу чётко: умножение → плюс, возведение → умножение.
Лайфхак для числовых выражений: раскладывай числа на простые множители. 8, 16, 32 — это степени двойки; 9, 27, 81 — степени тройки. После этого основания совпадут и всё сократится.
И помни: дробная степень — это корень. a^(1/3) = кубический корень из a, a^(2/3) = (∛a)². Это часто встречается в преобразованиях.