Как решать неравенства методом интервалов в ЕГЭ по математике?
Метод интервалов для меня загадка: как расставлять знаки на промежутках и что делать с кратными корнями. Как решать неравенства методом интервалов в ЕГЭ? Нужен чёткий алгоритм, чтобы не гадать со знаками.
2 ответа
Метод интервалов работает, когда неравенство сведено к виду (произведение/дробь) > 0 (или < 0).
Алгоритм:
- Перенеси всё в одну сторону, чтобы справа был 0. Разложи на множители.
- Найди нули числителя и знаменателя — отметь на числовой прямой.
- Нули знаменателя — всегда выколотые (там деление на 0). Нули числителя выколоты при строгом знаке (>, <) и закрашены при нестрогом (≥, ≤).
- Определи знак выражения на самом правом интервале (подставь большое число), дальше знаки чередуются.
- Выбери интервалы с нужным знаком.
Пример: (x − 1)(x − 4) > 0. Нули x = 1 и x = 4, обе точки выколоты (знак строгий). Прямая делится на три части. Справа (например x = 10) произведение положительно «+». Чередуем влево: «+», «−», «+».
Нужен «+» → берём x < 1 или x > 4. Ответ: x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞).
Важный момент — кратные корни. Если множитель в чётной степени, например (x − 2)², то в этой точке знак не меняется (касание, а не пересечение). При нечётной степени — меняется как обычно.
Частая ошибка: закрасить нуль знаменателя. Делить на ноль нельзя, поэтому такие точки всегда выколоты, даже при ≥ и ≤.
Быстрая проверка знаков без подстановки в каждый интервал: если все корни простые (степень 1), знаки строго чередуются «+ − + − ...» справа налево.
Глюк ловишь на кратных корнях: квадрат множителя → знак в этой точке не меняется. Отметь такие корни и «перепрыгни» смену знака через них.