Как решать показательные и логарифмические неравенства в ЕГЭ?
В неравенствах с логарифмами и степенями я постоянно забываю менять знак, когда основание меньше единицы, и теряю ОДЗ. Как решать показательные и логарифмические неравенства в ЕГЭ, чтобы не запутаться со знаком?
2 ответа
Главное правило для неравенств с логарифмом или степенью — смотреть на основание a:
- Если a > 1 — функция возрастает, при «снятии» знак неравенства сохраняется.
- Если 0 < a < 1 — функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный.
Показательное неравенство. Пример: 2ˣ > 8 = 2³. Основание 2 > 1, знак сохраняем: x > 3.
А вот (1/2)ˣ > 1/8. Здесь (1/2)ˣ > (1/2)³, основание 1/2 < 1 — меняем знак: x < 3.
Логарифмическое неравенство. Сначала ОДЗ (всё под log > 0!), потом снимаем log с учётом основания.
Пример: log₂(x − 1) < 3. ОДЗ: x − 1 > 0 → x > 1. Основание 2 > 1, знак сохраняем: x − 1 < 2³ = 8 → x < 9. Объединяем с ОДЗ: 1 < x < 9.
Пример с малым основанием: log_{0.5}(x) > 1. ОДЗ: x > 0. Основание 0.5 < 1 — меняем знак: x < 0.5¹ = 0.5. Итог: 0 < x < 0.5.
Частые ошибки: забыть ОДЗ и поменять/не поменять знак. Всегда сначала пиши ОДЗ, потом проверяй основание — больше или меньше единицы.
Памятка-«светофор» по основанию:
- a > 1 → знак не трогаем (функция растёт).
- 0 < a < 1 → знак переворачиваем (функция падает).
И для логарифмических неравенств ответ — это пересечение найденного решения с ОДЗ. Часто именно ОДЗ обрезает половину промежутка, так что без него ответ почти всегда неверный.