Как вычислять логарифмы без калькулятора в ЕГЭ (задание на логарифмы)?
В первой части ЕГЭ часто просят вычислить что-то вроде log по основанию 2 от 8 или выражение с логарифмами. Калькулятора нет, и я теряюсь. Как вычислять логарифмы вручную в ЕГЭ и какие свойства надо знать?
2 ответа
Логарифм — это степень: logₐ b = c ⟺ aᶜ = b. Вопрос «log₂ 8 = ?» читается как «2 в какой степени даёт 8?». Ответ 3, потому что 2³ = 8.
Базовые значения, которые надо знать наизусть:
- logₐ 1 = 0 (любое число в нулевой степени = 1).
- logₐ a = 1.
- logₐ aⁿ = n. Например, log₅ 25 = log₅ 5² = 2.
Свойства для вычислений:
- logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y
- logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y
- logₐ bⁿ = n·logₐ b
Примеры из вариантов:
- log₃ 27 = log₃ 3³ = 3.
- log₂ 5 + log₂ 0.8 = log₂(5 · 0.8) = log₂ 4 = 2 (свернули сумму в произведение!).
- log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2.
- 7^(log₇ 5) = 5 (основное логарифмическое тождество: a^(logₐ b) = b).
Главный приём — сворачивать сумму логарифмов в логарифм произведения, тогда часто получается красивая степень основания. И помни про десятичный логарифм lg = log₁₀ и натуральный ln = logₑ — это те же логарифмы, просто с фиксированным основанием.
Очень частый трюк на экзамене — основное логарифмическое тождество: a в степени logₐ b равно b. Например, 3^(log₃ 8) = 8, 10^(lg 5) = 5.
Если видишь «число в степени логарифм с тем же основанием» — ответ это просто то, что стоит под логарифмом. Никаких вычислений.