Какой физический смысл производной и как решать задачи на скорость и ускорение в ЕГЭ?
Попалась задача, где задан закон движения x(t), и просят найти скорость в какой-то момент времени. Это физический смысл производной, но я не уверен, что и как дифференцировать. Как решать задачи ЕГЭ на физический смысл производной (скорость, ускорение)?
2 ответа
Физический смысл производной: производная пути по времени — это скорость, а производная скорости — ускорение.
- v(t) = x'(t) — мгновенная скорость.
- a(t) = v'(t) = x''(t) — ускорение.
Пример из варианта: точка движется по закону x(t) = t³ − 6t² + 9t (метры, секунды). Найти скорость в момент t = 4.
- Дифференцируем: v(t) = x'(t) = 3t² − 12t + 9.
- Подставляем t = 4: v(4) = 3·16 − 12·4 + 9 = 48 − 48 + 9 = 9 м/с.
Частые формулировки и что делать:
- «В какой момент скорость равна нулю» → реши уравнение v(t) = 0, то есть x'(t) = 0.
- «Найдите ускорение» → продифференцируй ещё раз: a = v'(t).
- «Когда точка меняла направление» → ищи, где v(t) меняет знак.
Главное — не перепутать: если дали x(t) и спрашивают скорость, нужно дифференцировать один раз, а не подставлять t в сам x(t). Подстановка в x(t) даёт координату, а не скорость.
Коротко связка: координата → (производная) → скорость → (производная) → ускорение.
Если просят «через сколько секунд скорость станет 3 м/с», то составь уравнение x'(t) = 3 и реши его относительно t. А единицы можешь не писать в бланке — там нужно только число.