В чём геометрический смысл производной и как решать такие задания ЕГЭ по графику?
Дают график функции и касательную, просят найти производную в точке — это про геометрический смысл производной. Я не понимаю, как из картинки достать число. Как решать задания ЕГЭ на геометрический смысл производной по графику касательной?
2 ответа
Геометрический смысл производной: f'(x₀) — это тангенс угла наклона касательной к графику в точке x₀, то есть угловой коэффициент прямой y = kx + b, где k = f'(x₀).
Чтобы найти число по графику касательной:
- Возьми на касательной две удобные точки, где она проходит чётко через узлы клеток.
- Посчитай «шаги»: на сколько клеток вправо (Δx) и на сколько вверх/вниз (Δy).
f'(x₀) = Δy / Δx(рост по вертикали делим на рост по горизонтали).
Пример: касательная идёт вправо на 4 клетки и поднимается на 2. Тогда f'(x₀) = 2/4 = 0.5.
Знаки важны:
- Касательная поднимается слева направо → производная положительная.
- Касательная опускается → производная отрицательная (Δy берём со знаком минус).
- Касательная горизонтальна → f'(x₀) = 0 (это как раз точки экстремума).
Частая ошибка — забыть минус, когда касательная убывает, или перепутать местами Δx и Δy. Помни: делим вертикаль на горизонталь, а не наоборот.
Бывает обратный тип: дан график производной, а спрашивают про саму функцию.
Там читай так: где f'(x) > 0 (график над осью) — функция возрастает; где f'(x) < 0 (под осью) — убывает; точки пересечения с осью X — это экстремумы. Не путай график функции и график её производной — это две разные картинки с разной логикой.