Что такое геометрическая вероятность?
Встретил задачу, где вероятность связана не со счётом, а с длиной или площадью. Это и есть геометрическая вероятность? Как её считать?
2 ответа
Геометрическая вероятность применяется, когда исходов бесконечно много, но их можно изобразить как точки на отрезке, фигуре или в пространстве. Тогда вероятность — это отношение мер (длин, площадей, объёмов):
P = (мера благоприятной области) / (мера всей области)
Вместо подсчёта m/n мы берём отношение длин или площадей.
Пример (отрезок). Точку наугад бросают на отрезок длиной 10 см. Вероятность, что она попадёт в первые 3 см?
P = 3/10 = 0.3.
Пример (площадь). В квадрате 1×1 нарисован круг радиуса 0.5 (вписанный). Вероятность, что случайная точка попадёт в круг?
P = площадь круга / площадь квадрата = (π·0.5²) / 1 ≈ 0.785.
Кстати, так методом Монте-Карло приближённо вычисляют число π.
Пример (встреча). Двое договорились прийти в течение часа и ждать 15 минут — задача про вероятность встречи решается через площадь на квадрате времён.
Ключ: если в задаче «наугад выбирают точку/время/место», а не считают отдельные исходы — это геометрическая вероятность, работай с длинами и площадями.
Главное отличие от классической схемы: там исходы дискретны и их можно сосчитать (m/n), а здесь их бесконечно много, поэтому считаем геометрические меры. Важная деталь — у точки нет «размера», поэтому вероятность попасть в одну конкретную точку отрезка равна нулю, хотя событие и возможно.