Какие есть свойства логарифмов?

Основные свойства логарифмов (везде основание a > 0, a ≠ 1):

1. Логарифм произведения → сумма: log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y)
2. Логарифм частного → разность: log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y)
3. Логарифм степени → множитель: log_a(xⁿ) = n·log_a(x)
4. Логарифм единицы: log_a(1) = 0
5. Логарифм основания: log_a(a) = 1
6. Основное логарифмическое тождество: a^(log_a(b)) = b
7. Переход к новому основанию: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)

Примеры:

• log_2(8·4) = log_2(8) + log_2(4) = 3 + 2 = 5 (проверка: 8·4 = 32 = 2⁵).
• log_3(81) = log_3(3⁴) = 4·log_3(3) = 4.

Частая ошибка №1: писать log_a(x + y) = log_a(x) + log_a(y). Неверно! Свойство суммы работает для произведения внутри, а не для суммы.

Ошибка №2: путать (log_a x)² и log_a(x²). Это разные выражения: во втором степень внутри, её можно вынести вперёд, а в первом возводится в квадрат весь логарифм.