Молекулярно-кинетическая картина

Урок связывает макроскопическую температуру со скоростями молекул и проверяет это симуляцией.

Среднеквадратичная скорость молекул газа связана с температурой: $v_{\text{скв}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$, где $M$ — молярная масса.

Температура — это усреднённая мера хаоса молекул. Но как быстро они на самом деле летают? Кинетическая теория даёт точный ответ, и его можно проверить статистической симуляцией прямо в браузере.

Среднеквадратичная скорость

Из связи $\langle E_k\rangle = \tfrac{3}{2}kT$ и $\langle E_k\rangle = \tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle$ получаем:

$$v_{\text{скв}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

import math
R = 8.314; T = 300.0
M = 0.028   # азот, кг/моль
v_rms = math.sqrt(3 * R * T / M)
print("Среднеквадратичная скорость азота при 300 К =", round(v_rms, 1), "м/с")

Вывод:

Среднеквадратичная скорость азота при 300 К = 516.9 м/с

Молекулы азота при комнатной температуре несутся со скоростью около полукилометра в секунду — быстрее звука. Именно их удары о стенки и создают давление.

Проверка методом Монте-Карло

Распределение проекций скорости по каждой оси — гауссово со среднеквадратичным отклонением $\sigma = \sqrt{kT/m}$. Сгенерируем много молекул случайно и посчитаем их $v_{\text{скв}}$ напрямую — он должен совпасть с теорией.

import random, math
random.seed(42)
R = 8.314; T = 300.0; M = 0.028
k = 1.380649e-23
m = M / 6.02214076e23
sigma = math.sqrt(k * T / m)      # СКО одной проекции скорости
N = 200000
s2 = 0.0
for _ in range(N):
    vx = random.gauss(0, sigma)
    vy = random.gauss(0, sigma)
    vz = random.gauss(0, sigma)
    s2 += vx*vx + vy*vy + vz*vz
v_rms_sim = math.sqrt(s2 / N)
v_rms_theory = math.sqrt(3 * R * T / M)
print("Монте-Карло v_rms =", round(v_rms_sim, 1), "м/с")
print("Теория      v_rms =", round(v_rms_theory, 1), "м/с")

Вывод:

Монте-Карло v_rms = 517.3 м/с
Теория      v_rms = 516.9 м/с

Симуляция из 200 тысяч случайных молекул воспроизвела теоретическую формулу с точностью до долей процента. Это наглядно подтверждает: макроскопическая температура — действительно статистика микроскопических скоростей.

Как работает под капотом

Каждая из трёх проекций скорости даёт вклад $\sigma^2 = kT/m$ в средний квадрат, поэтому $\langle v^2\rangle = 3kT/m$, а $v_{\text{скв}} = \sqrt{3kT/m} = \sqrt{3RT/M}$ (переход через $R = kN_A$ и $M = mN_A$). Лёгкие газы (водород) при той же температуре летают быстрее тяжёлых — скорость обратно пропорциональна $\sqrt{M}$.

Частые ошибки

• Путать $v_{\text{скв}}$, среднюю и наиболее вероятную скорости — это три разных средних распределения Максвелла.
• Подставлять молярную массу в граммах вместо кг/моль.
• Ожидать, что все молекулы движутся одинаково; на деле есть широкое распределение скоростей.

Итог

• $v_{\text{скв}} = \sqrt{3RT/M}$ связывает температуру со скоростью молекул.
• Молекулы воздуха при 300 K летают со скоростью $\sim 500\,\text{м/с}$.
• Монте-Карло-симуляция подтверждает формулу с высокой точностью.