Вращение твёрдого тела

При вращении все точки тела поворачиваются на один угол, но движутся с разной линейной скоростью.

Угловая скорость $\omega$ — быстрота изменения угла поворота тела: $\omega = \frac{d\varphi}{dt}$ (рад/с).

Колесо, вал двигателя, стрелка часов — всё это вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Удобство в том, что все точки тела поворачиваются на одинаковый угол $\varphi$, поэтому движение описывается всего одной угловой координатой. По аналогии с поступательным движением вводят угловую скорость и угловое ускорение:

$$\omega = \frac{d\varphi}{dt}, \qquad \varepsilon = \frac{d\omega}{dt}.$$

При равноускоренном вращении (постоянное $\varepsilon$) формулы повторяют линейные: $\omega = \omega_0 + \varepsilon t$ и $\varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2}$.

Передаточные отношения

Кинематика вращения — основа всех передач, которыми насыщена техника. Когда два зубчатых колеса сцеплены, скорость в точке контакта у них общая, поэтому $\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$: меньшее колесо вращается быстрее во столько раз, во сколько оно меньше. Это передаточное отношение — сердце редукторов, коробок передач, велосипедных звёздочек. Понижающая передача снижает обороты, но повышает момент (вспомните: мощность $P = M\omega$ сохраняется, значит при меньшем $\omega$ растёт $M$) — именно поэтому грузовик трогается на пониженной передаче. Ремённые и цепные передачи подчиняются той же логике через радиусы шкивов и звёздочек. Поэтому формула $v = \omega R$, кажущаяся простой, лежит в основе расчёта любого привода: зная нужные обороты и момент на выходе, инженер подбирает радиусы колёс так, чтобы двигатель работал в выгодном режиме. Кинематика задаёт скорости, а связь с моментом откроет нам динамика.

Связь линейных и угловых величин

Точка тела на расстоянии $R$ от оси движется по окружности. Её линейная скорость и ускорения связаны с угловыми:

$$v = \omega R, \qquad a_\tau = \varepsilon R, \qquad a_n = \omega^2 R.$$

Чем дальше точка от оси, тем быстрее она движется. Часто угловую скорость задают в оборотах в минуту (об/мин); перевод: $\omega = \frac{2\pi n}{60}$ рад/с. Посчитаем для шлифовального круга 3000 об/мин радиусом 0.15 м.

import math

n = 3000.0     # об/мин
R = 0.15       # радиус, м

omega = 2 * math.pi * n / 60     # рад/с
v = omega * R                    # линейная скорость обода
an = omega**2 * R                # центростремительное ускорение

print(f"omega = {omega:.2f} рад/с")
print(f"скорость обода v = {v:.2f} м/с")
print(f"a_n = {an:.1f} м/с^2 ({an/9.81:.0f} g)")

Вывод:

omega = 314.16 рад/с
скорость обода v = 47.12 м/с
a_n = 14804.4 м/с^2 (1509 g)

Полторы тысячи g на ободе — вот почему абразивные круги разрываются при превышении оборотов: центробежные силы огромны.

Как работает под капотом

Почему угол измеряют в радианах, а не в градусах? Именно в радианах справедливо простое $v = \omega R$ без лишних коэффициентов: длина дуги равна $s = \varphi R$ только когда $\varphi$ в радианах (по определению радиана). Продифференцировав $s = \varphi R$ по времени при постоянном $R$, получаем $v = \omega R$. Аналогично $a_\tau = \varepsilon R$ — это производная скорости при изменении $\omega$, а $a_n = \omega^2 R$ получается подстановкой $v = \omega R$ в $a_n = v^2/R$. Векторно $\vec\omega$ направлен вдоль оси вращения по правилу правой руки, и $\vec v = \vec\omega \times \vec r$ — это компактная запись всей кинематики вращения.

Частые ошибки

Применять $v = \omega R$ с углом в градусах вместо радиан.
Забывать, что у точек на разном радиусе разная линейная скорость, хотя $\omega$ общая.
Путать угловое ускорение $\varepsilon$ (меняет $\omega$) с центростремительным $a_n$.
Не переводить об/мин в рад/с перед расчётом.

Итог

Вращение задаётся одной координатой $\varphi$; $\omega = d\varphi/dt$, $\varepsilon = d\omega/dt$.
Связь с линейными: $v = \omega R$, $a_\tau = \varepsilon R$, $a_n = \omega^2 R$.
Перевод оборотов: $\omega = 2\pi n / 60$ рад/с.
Угол обязательно в радианах для этих формул.