Математический маятник

Маятник — пример системы, линейной при малых углах и нелинейной при больших.

Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити, колеблющаяся под действием силы тяжести.

Маятник — главный герой истории механики (от Галилея до часов Гюйгенса). Запишем его уравнение. Возвращающая сила — это касательная составляющая тяжести $mg\sin\theta$. По второму закону для движения по дуге $L\ddot\theta = -g\sin\theta$:

$$\ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.$$

Это уравнение нелинейно из-за $\sin\theta$. Но при малых углах $\sin\theta \approx \theta$, и оно превращается в уравнение гармонического осциллятора с $\omega_0 = \sqrt{g/L}$. Отсюда знаменитая формула периода малых колебаний:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Период не зависит ни от массы, ни (в этом приближении) от амплитуды — на этом основаны маятниковые часы.

Проверка формулы численно

Промоделируем полное нелинейное уравнение для малой амплитуды и сравним период с формулой $2\pi\sqrt{L/g}$.

import math

g = 9.81
L = 1.0
theta = math.radians(5)   # малая амплитуда
omega = 0.0
dt = 0.0001

prev = theta
t = 0.0
cross = []
while t < 4.0:
    eps = -(g / L) * math.sin(theta)   # полное уравнение
    omega += eps * dt
    theta += omega * dt
    if prev < 0 <= theta:
        cross.append(t)
    prev = theta
    t += dt

T_num = cross[1] - cross[0]
T_theory = 2 * math.pi * math.sqrt(L / g)
print(f"период численно = {T_num:.4f} с")
print(f"период теория   = {T_theory:.4f} с")

Вывод:

период численно = 2.0070 с
период теория   = 2.0061 с

Маятник как мера времени и тяжести

Маятник сыграл в истории науки и техники роль, которую трудно переоценить. Открытие Галилеем изохронности (период не зависит от амплитуды при малых углах) подарило человечеству первые точные часы — маятниковые, господствовавшие три века, пока их не сменил кварц. Формула $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ работает и в обратную сторону: измерив период маятника известной длины, можно определить местное ускорение свободного падения $g$ — и так делают до сих пор в гравиметрии, выявляя залежи полезных ископаемых по крошечным отклонениям $g$. Маятник Фуко наглядно доказал вращение Земли. А оборотный маятник Катера позволил измерить $g$ с высочайшей точностью без знания положения центра тяжести. Этот простой прибор — материальная точка на нити — оказался одновременно эталоном времени, инструментом геофизики и доказательством движения планеты. И вся его теория умещается в одно уравнение, которое мы только что вывели и проверили численно.

Когда приближение ломается

При больших амплитудах $\sin\theta$ заметно отличается от $\theta$, и период растёт: при $90^\circ$ он примерно на 18% больше формульного. Маятник перестаёт быть изохронным — это нелинейный эффект. Поэтому в точных часах амплитуду делают малой, а формулу $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ применяют только для углов до $\sim 10^\circ$.

Как работает под капотом

Замена $\sin\theta \approx \theta$ — это линеаризация, первый член разложения в ряд Тейлора: $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \dots$. При $\theta = 5^\circ \approx 0.087$ рад кубическая поправка $\theta^3/6 \approx 0.0001$ — ничтожна, поэтому численный период совпал с формульным до третьего знака. Линеаризация — универсальный приём механики: сложную нелинейную систему вблизи положения равновесия заменяют гармоническим осциллятором, и весь арсенал теории колебаний становится применим. Расхождение растёт с амплитудой именно потому, что отброшенный член $\theta^3$ растёт быстрее самого $\theta$.

Частые ошибки

• Применять $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ к большим углам, где приближение $\sin\theta\approx\theta$ неверно.
• Думать, что период маятника зависит от массы груза — не зависит.
• Путать длину нити $L$ с амплитудой колебаний.
• Считать маятник всегда изохронным — это верно лишь в линейном приближении.

Итог

• Уравнение маятника $\ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = 0$ нелинейно.
• При малых углах $\sin\theta\approx\theta$ → гармонический осциллятор, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.
• Период малых колебаний не зависит от массы и амплитуды.
• При больших амплитудах период растёт — изохронность нарушается.