Импульс и теоремы динамики

Импульс — мера движения, которая сохраняется в замкнутой системе.

Импульс (количество движения) тела — произведение массы на скорость: $\vec p = m\vec v$.

Энергия — не единственная сохраняющаяся величина. Импульс $\vec p = m\vec v$ описывает «запас движения» тела. Теорема об изменении количества движения гласит: изменение импульса равно импульсу силы (произведению силы на время её действия):

$$\vec p_2 - \vec p_1 = \int \vec F\,dt = \vec F\,\Delta t.$$

Это особенно удобно при ударах, где сила огромна, но действует доли секунды. А главное следствие — закон сохранения импульса: если внешние силы отсутствуют (или их сумма ноль), суммарный импульс системы постоянен: $\sum m_i \vec v_i = \text{const}$.

Абсолютно неупругий удар

При неупругом ударе тела слипаются и движутся вместе. Из сохранения импульса находим общую скорость: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$. Промоделируем удар вагонов и проверим, сколько кинетической энергии «потерялось» (ушло в деформацию).

m1, v1 = 3000.0, 5.0    # движущийся вагон, кг и м/с
m2, v2 = 2000.0, 0.0    # стоящий вагон

u = (m1 * v1 + m2 * v2) / (m1 + m2)   # сохранение импульса

T1 = 0.5 * m1 * v1**2 + 0.5 * m2 * v2**2
T2 = 0.5 * (m1 + m2) * u**2
print(f"общая скорость u = {u:.3f} м/с")
print(f"энергия до = {T1:.1f} Дж")
print(f"энергия после = {T2:.1f} Дж")
print(f"потеряно = {T1 - T2:.1f} Дж")

Вывод:

общая скорость u = 3.000 м/с
энергия до = 37500.0 Дж
энергия после = 22500.0 Дж
потеряно = 15000.0 Дж

Импульс сохранился, а кинетическая энергия — нет: часть ушла на деформацию и тепло. Это важнейшее различие двух законов.

Импульс или энергия — что выбрать

У начинающих часто возникает путаница: когда применять сохранение импульса, а когда — энергии? Разберём это чётко. Импульс сохраняется всегда, когда сумма внешних сил равна нулю (или ими можно пренебречь за краткое время, как при ударе) — независимо от того, упругое столкновение или нет. Механическая же энергия сохраняется лишь при отсутствии непотенциальных сил: при упругом ударе да, при неупругом — нет, часть уходит в тепло. Отсюда стратегия: для любых столкновений сначала пишут сохранение импульса (оно надёжно), а сохранение энергии добавляют только если удар заявлен упругим. Реактивное движение — ещё одна вотчина импульса: ракета отбрасывает газы назад и сама движется вперёд именно по закону сохранения импульса, и здесь энергетический подход неудобен. Умение выбрать правильный закон сохранения под конкретную задачу — признак зрелого понимания динамики, и оно приходит с практикой решения разнотипных задач.

Момент количества движения

Для вращения вводят момент количества движения (кинетический момент) $L = J\omega$, где $J$ — момент инерции массы. Теорема: изменение кинетического момента равно моменту внешних сил. При отсутствии внешнего момента $J\omega = \text{const}$ — фигурист, прижимая руки, уменьшает $J$ и раскручивается быстрее (растёт $\omega$). Это вращательный аналог сохранения импульса.

Как работает под капотом

Закон сохранения импульса — прямое следствие третьего закона Ньютона. При взаимодействии двух тел силы $\vec F_{12}$ и $\vec F_{21}$ равны и противоположны, поэтому их вклады в суммарный импульс гасятся: $\frac{d}{dt}(\vec p_1 + \vec p_2) = \vec F_{12} + \vec F_{21} = 0$. Почему при ударе сохраняется импульс, но не энергия? Импульс сохраняется всегда, когда внешние силы малы по сравнению с ударными (за краткое время удара внешним импульсом можно пренебречь). А энергия сохраняется лишь при упругом ударе; при неупругом часть переходит в необратимые формы (тепло, деформация), и механическая энергия убывает. Поэтому импульс — более «надёжный» закон для столкновений.

Частые ошибки

Считать, что при неупругом ударе сохраняется кинетическая энергия — сохраняется только импульс.
Забывать векторный характер импульса: при ударе под углом складывают проекции.
Применять сохранение импульса при значимых внешних силах.
Путать импульс тела $mv$ и импульс силы $F\Delta t$ (хотя они равны по теореме).

Итог

Импульс $\vec p = m\vec v$; теорема: $\Delta\vec p = \vec F\Delta t$.
В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется (следствие 3-го закона).
При неупругом ударе импульс сохраняется, кинетическая энергия — нет.
Вращательный аналог: кинетический момент $L = J\omega$ сохраняется без внешнего момента.