Центральная предельная теорема на пальцах

Почему нормальное распределение возникает буквально везде? Ответ — в одной из самых красивых теорем статистики.

Центральная предельная теорема (ЦПТ): сумма (и среднее) большого числа независимых случайных величин распределена приблизительно нормально — почти независимо от того, как распределены сами величины.

Удивительное обещание

Возьмём максимально «ненормальную» величину — бросок честной кости. Её распределение равномерное: плоское, никакого колокола. Но если складывать результаты нескольких костей, сумма начнёт стремиться к нормальной форме. Это и есть магия ЦПТ: из плоских кирпичиков складывается колокол.

Одна кость — плоско

import random
from collections import Counter
random.seed(0)

# Распределение одной кости — равномерное (плоское)
rolls = [random.randint(1, 6) for _ in range(60000)]
c = Counter(rolls)
for face in range(1, 7):
    print(f"{face}: {'#' * (c[face] // 500)} ({c[face]})")

Вывод:

1: ################### (9978)
2: #################### (10136)
3: ################### (9994)
4: ################### (9825)
5: #################### (10091)
6: ################### (9976)

Все грани примерно равны — никакого колокола, чистое равномерное распределение.

Сумма пяти костей — появляется колокол

Теперь будем бросать пять костей и складывать. Сумма пяти равномерных величин уже выглядит как колокол.

import random
from collections import Counter
random.seed(0)

def sum_of_dice(n):
    return sum(random.randint(1, 6) for _ in range(n))

sums = [sum_of_dice(5) for _ in range(100000)]
c = Counter(sums)
for s in range(5, 31):
    bar = "#" * (c[s] // 500)
    print(f"{s:2}: {bar}")

Вывод:

 5: 
 6: 
 7: 
 8: 
 9: #
10: ###
11: #####
12: #######
13: ##########
14: #############
15: ################
16: ##################
17: ####################
18: ####################
19: ##################
20: #################
21: #############
22: ##########
23: #######
24: #####
25: ###
26: #
27: 
28: 
29: 
30: 

Вот он, колокол! Хотя каждая кость по отдельности плоская, их сумма симметрично концентрируется вокруг центра (среднее суммы пяти костей = 5 · 3.5 = 17.5). Чем больше костей складываем, тем ровнее колокол.

Среднее выборок тоже нормально

ЦПТ работает не только для сумм, но и для средних — и это её главное практическое следствие. Возьмём сильно скошенную величину и посмотрим на распределение средних по выборкам.

import random
from statistics import mean, stdev
random.seed(1)

# Сильно скошенная исходная величина (экспоненциальная)
def skewed():
    return random.expovariate(1.0)   # среднее = 1, длинный правый хвост

# Берём 2000 выборок по 50 значений и считаем их средние
sample_means = [mean(skewed() for _ in range(50)) for _ in range(2000)]

print("Среднее из средних:", round(mean(sample_means), 3))
print("Разброс средних (σ):", round(stdev(sample_means), 3))
print("Теория σ/sqrt(n) =", round(1 / 50 ** 0.5, 3))

Вывод:

Среднее из средних: 1.004
Разброс средних (σ): 0.146
Теория σ/sqrt(n) = 0.141

Хотя исходная величина сильно скошена, распределение её выборочных средних — почти нормальное и узкое. Его разброс близок к σ/√n (стандартная ошибка) — здесь 1/√50 ≈ 0.141, что симуляция подтвердила.

Почему это так важно

ЦПТ — фундамент статистического вывода из последнего раздела. Именно благодаря ей мы можем строить доверительные интервалы и проверять гипотезы, опираясь на нормальное распределение, даже не зная, как распределены исходные данные. Достаточно, чтобы выборка была достаточно большой (часто хватает n ≥ 30).

Итог

• ЦПТ: сумма и среднее многих независимых величин стремятся к нормальному распределению.
• Это работает почти независимо от формы исходного распределения.
• Разброс выборочного среднего — стандартная ошибка σ/√n: больше выборка — точнее оценка.
• ЦПТ — основа доверительных интервалов и проверки гипотез.