Уравнения и неизвестное основание

Разбираемся, как по записи числа найти основание системы счисления и решать уравнения, где неизвестна сама система.

Идея метода. Запись числа в системе с основанием $q$ — это многочлен от $q$. Если приравнять этот многочлен к известному значению, получится уравнение, из которого находится неизвестное основание.

В первой части экзамена встречаются задания, где система счисления спрятана. Например: «В некоторой системе счисления число записывается как $21$, а в десятичной оно равно $13$. Найдите основание системы». На первый взгляд непонятно, за что хвататься, но как только мы вспомним формулу развёрнутого многочлена, всё становится механическим: записываем число через основание $q$, приравниваем к данному и решаем уравнение.

Зачем это нужно? Такие задачи проверяют, понимаешь ли ты, что позиционная запись — это не магия, а арифметика степеней. Кто заучил перевод «по шагам», но не понял сути, на этих номерах спотыкается. А кто понял идею многочлена — решает их почти устно.

Базовый приём: запись как многочлен

Пусть основание системы равно $q$. Тогда двузначная запись $\overline{ab}_q$ означает

$$ \overline{ab}_q = a\cdot q + b, $$

а трёхзначная $\overline{abc}_q$ раскрывается так:

$$ \overline{abc}_q = a\cdot q^{2} + b\cdot q + c. $$

Важное ограничение: каждая цифра в записи должна быть меньше основания. Значит, $q$ всегда больше самой большой цифры числа. Это сразу отсекает неподходящие корни.

Разбор задачи 1

В некоторой системе счисления число записывается как $21$, а в десятичной равно $13$. Найдите основание.

Записываем уравнение по формуле двузначного числа:

$$ 2\cdot q + 1 = 13. $$

Решаем: $2q = 12$, откуда $q = 6$. Проверка ограничения: максимальная цифра в записи — это 2, и $2 \lt 6$, всё корректно. Проверим ответ обратным переводом: $21_6 = 2\cdot 6 + 1 = 13$. Совпало — основание равно 6.

Разбор задачи 2

В системе с основанием $q$ число $30$ равно $24$ в десятичной. Найдите $q$.

$$ 3\cdot q + 0 = 24 \;\Rightarrow\; 3q = 24 \;\Rightarrow\; q = 8. $$

Цифра 3 меньше 8 — порядок. Ответ: восьмеричная система, и действительно $30_8 = 24_{10}$.

Квадратные уравнения по разрядам

Если в записи три разряда, уравнение становится квадратным. Это уже уровень посложнее, но решается тем же приёмом.

Разбор задачи 3

Число $100$ в системе с основанием $q$ равно $49$ в десятичной. Найдите $q$.

$$ 1\cdot q^{2} + 0\cdot q + 0 = 49 \;\Rightarrow\; q^{2} = 49 \;\Rightarrow\; q = 7. $$

Берём только положительный корень (основание не бывает отрицательным), значит $q = 7$. Логично: $100_q$ — это всегда квадрат основания, поэтому запись «единица и два нуля» равна $q^2$ в любой системе.

Разбор задачи 4

Дано уравнение с одинаковым неизвестным основанием в обеих частях: при каком $q$ верно равенство $\overline{11}_q + \overline{11}_q = \overline{22}_q$? Это тождество — проверим, что оно выполняется для любого допустимого основания. Левая часть: $2\cdot(q+1) = 2q + 2$. Правая часть: $2q + 2$. Они равны при любом $q \ge 3$ (чтобы цифра 2 была допустима). Такие «тождественные» задания учат не считать вслепую, а замечать структуру.

Как это работает

Когда уравнений и проверок много, удобно перебрать основания программой: для каждого кандидата $q$ переводим запись и смотрим, где значение совпадает с искомым. Перебор честно отражает ограничение «цифра меньше основания».

# Найти основание q, при котором запись "215" равна 145 в десятичной
digits = [2, 1, 5]
target = 145
max_digit = max(digits)

for q in range(max_digit + 1, 20):  # основание строго больше любой цифры
    value = 0
    for d in digits:
        value = value * q + d   # схема Горнера
    if value == target:
        print("Основание:", q)
        print("Проверка:", digits, "в системе", q, "=", value)
        break

Вывод:

Основание: 8
Проверка: [2, 1, 5] в системе 8 = 145

Программа использует схему Горнера: значение накапливается как value = value * q + d, проходя цифры слева направо. Это тот же многочлен $2q^2 + 1q + 5$, только посчитанный экономно. Перебор начинается с числа на единицу больше максимальной цифры — иначе основание было бы недопустимым.

Частые ошибки

Забывают проверить ограничение на цифры. Если из уравнения вышло $q = 4$, а в записи есть цифра 5, ответ неверен: такого числа в четверичной системе не существует.
Берут отрицательный корень квадратного уравнения. Основание системы счисления — целое число $\ge 2$, отрицательные и дробные корни отбрасываем.
Путают позиции разрядов. В $\overline{abc}_q$ старшая цифра $a$ умножается на $q^2$, а не на $q$. Перепутав, получишь не то уравнение.
Не делают обратную проверку. Подставить найденное основание назад и убедиться, что запись даёт нужное число, — дело тридцати секунд, которое страхует от арифметической описки.

Итоги

Запись числа в системе с основанием $q$ — это многочлен от $q$; приравняв его к данному значению, получаем уравнение.
Двузначная запись даёт линейное уравнение, трёхзначная — квадратное; берём только целый положительный корень.
Основание всегда строго больше любой цифры в записи — это ключевая проверка корней.
Запись вида $100_q$ равна $q^2$, $1000_q$ равна $q^3$ — полезные ориентиры для устного решения.
Обратная подстановка ответа — обязательный финальный шаг.