Векторы, скалярное и векторное произведение

Векторы описывают позиции, направления и нормали, а два их произведения — скалярное и векторное — лежат в основе освещения.

Скалярное произведение двух единичных векторов равно косинусу угла между ними; векторное произведение даёт вектор, перпендикулярный обоим.

Зачем это знать

Освещение, отражения, определение видимости граней — всё считается через эти две операции. Скалярное произведение измеряет «насколько направления согласованы» (под каким углом падает свет на поверхность). Векторное даёт нормаль к плоскости и определяет ориентацию треугольника.

Нормализация вектора

Направление часто нужно как единичный вектор (длина 1) — тогда скалярное произведение сразу даёт косинус угла. Нормализация делит вектор на его длину.

import math

def normalize(v):
    length = math.sqrt(sum(c*c for c in v))
    return tuple(round(c / length, 3) for c in v)

print("Длина (3,4,0):", math.sqrt(3*3 + 4*4 + 0))
print("Нормализованный:", normalize((3, 4, 0)))

Вывод:

Длина (3,4,0): 5.0
Нормализованный: (0.6, 0.8, 0.0)

Скалярное произведение и угол

Скалярное произведение — сумма произведений соответствующих компонент. Для единичных векторов оно равно косинусу угла: 1 — направления совпадают, 0 — перпендикулярны, -1 — противоположны. В освещении именно эта величина определяет яркость поверхности.

import math

def dot(a, b):
    return sum(x*y for x, y in zip(a, b))

def angle_deg(a, b):
    la = math.sqrt(dot(a, a)); lb = math.sqrt(dot(b, b))
    cos = dot(a, b) / (la * lb)
    return round(math.degrees(math.acos(cos)), 1)

print("dot (1,0,0)·(1,0,0):", dot((1,0,0), (1,0,0)), "угол", angle_deg((1,0,0),(1,0,0)))
print("dot (1,0,0)·(0,1,0):", dot((1,0,0), (0,1,0)), "угол", angle_deg((1,0,0),(0,1,0)))
print("dot (1,0,0)·(-1,0,0):", dot((1,0,0), (-1,0,0)), "угол", angle_deg((1,0,0),(-1,0,0)))

Вывод:

dot (1,0,0)·(1,0,0): 1 угол 0.0
dot (1,0,0)·(0,1,0): 0 угол 90.0
dot (1,0,0)·(-1,0,0): -1 угол 180.0

Свет, падающий перпендикулярно поверхности (dot=1), освещает её максимально; вскользь (dot→0) — почти не освещает; сзади (dot<0) — не освещает вовсе.

Векторное произведение и нормаль

Векторное произведение двух векторов даёт третий, перпендикулярный обоим. Так из двух рёбер треугольника получают его нормаль — направление «наружу» от грани, без которого невозможно посчитать освещение.

def cross(a, b):
    return (a[1]*b[2] - a[2]*b[1],
            a[2]*b[0] - a[0]*b[2],
            a[0]*b[1] - a[1]*b[0])

edge1 = (1, 0, 0)  # ребро вдоль X
edge2 = (0, 1, 0)  # ребро вдоль Y
print("Нормаль к плоскости XY:", cross(edge1, edge2))

Вывод:

Нормаль к плоскости XY: (0, 0, 1)

Два ребра, лежащие в плоскости XY, дали нормаль (0,0,1) — точно вверх по оси Z, перпендикулярно грани.

Как работает под капотом

В GLSL это встроенные функции dot(), cross(), normalize(), и GPU считает их аппаратно за такты. Диффузное освещение Фонга — это буквально max(dot(N, L), 0.0), где N — нормаль, L — направление на свет. Векторное произведение нормали к грани также определяет, «лицом» или «спиной» треугольник повёрнут к камере (backface culling).

Частые ошибки

• Забыть нормализовать векторы перед скалярным произведением — тогда оно не будет косинусом угла.
• Перепутать порядок в векторном произведении: cross(a,b) = -cross(b,a), нормаль смотрит в другую сторону.
• Не обрезать отрицательное диффузное освещение через max(...,0) — получите «отрицательный свет».

Итоги

• Нормализация даёт единичный вектор длины 1.
• Скалярное произведение единичных векторов = косинус угла; основа диффузного освещения.
• Векторное произведение даёт перпендикуляр — нормаль к грани.
• cross(a,b) = -cross(b,a) — порядок задаёт сторону нормали.