Аппроксимация многочленом

Урок про то, как описать изогнутую характеристику многочленом и считать его без сторонних библиотек.

Аппроксимация — подбор гладкой функции (обычно многочлена), наилучшим образом проходящей через калибровочные точки по методу наименьших квадратов.

Когда характеристика датчика изогнута, прямой её не описать. На помощь приходит многочлен: парабола или кубика гибко повторяют изгиб. Коэффициенты подбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной.

Метод наименьших квадратов для прямой

Для прямой $y = a x + b$ коэффициенты находятся явными формулами:

$$ a = \frac{n\sum x y - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}, \qquad b = \frac{\sum y - a\sum x}{n} $$

def linfit(xs, ys):
    n = len(xs)
    sx = sum(xs); sy = sum(ys)
    sxx = sum(x*x for x in xs)
    sxy = sum(x*y for x, y in zip(xs, ys))
    a = (n*sxy - sx*sy) / (n*sxx - sx*sx)
    b = (sy - a*sx) / n
    return a, b

xs = [0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5]
ys = [0.0, 25.0, 50.0, 75.0, 100.0]
a, b = linfit(xs, ys)
print("a =", round(a, 3), "b =", round(b, 3))
print("при 1.75 В:", round(a*1.75 + b, 1), "°C")

Вывод:

a = 50.0 b = -25.0
при 1.75 В: 62.5 °C

Квадратичная аппроксимация изгиба

Если характеристика изогнута, добавляют квадратичный член: $y = c_0 + c_1 x + c_2 x^2$. Для трёх точек коэффициенты находятся точно, через решение системы. Покажем на готовой параболе, как её посчитать:

# парабола y = 2 + 3x + 0.5x^2, подобранная по точкам
c0, c1, c2 = 2.0, 3.0, 0.5

def poly(x):
    return c0 + c1*x + c2*x*x

for x in (0, 2, 4):
    print("x =", x, "-> y =", poly(x))

Вывод:

x = 0 -> y = 2.0
x = 2 -> y = 10.0
x = 4 -> y = 22.0

Как работает под капотом

Метод наименьших квадратов минимизирует сумму $\sum (y_i - f(x_i))^2$. Для многочлена это сводится к системе линейных уравнений (нормальные уравнения), которую можно решить вручную для малых степеней. Важно не переусердствовать: многочлен высокой степени идеально пройдёт через точки, но между ними начнёт «гулять» (переобучение). На практике редко идут выше квадратичной или кубической аппроксимации, а лучше добавить точек калибровки.

Частые ошибки

• Брать слишком высокую степень многочлена — он начнёт колебаться между точками.
• Аппроксимировать по 2–3 точкам параболой и доверять ей за пределами диапазона (экстраполяция).
• Забыть, что МНК чувствителен к выбросам — один кривой замер перекосит всю кривую.

Итог

• Нелинейную характеристику линеаризуют аппроксимацией многочленом.
• Коэффициенты подбирает метод наименьших квадратов.
• Высокая степень опасна переобучением; экстраполяция за диапазон ненадёжна.