Гистограмма: сколько брать бинов

Число бинов — не косметика: им можно превратить одно распределение в совсем другое.

Гистограмма делит диапазон значений на интервалы (бины) и показывает, сколько наблюдений попало в каждый. Ширина бина — главный параметр: слишком широкие сглаживают структуру, слишком узкие добавляют шум.

Почему это важно

Гистограмма с 5 бинами и та же выборка с 50 бинами могут выглядеть как два разных распределения: на грубой исчезнет бимодальность, на слишком мелкой появятся ложные «зубцы» от случайных колебаний. Поэтому выбор числа бинов — это научное решение, а не настройка по умолчанию. Существуют формулы, которые дают разумную отправную точку.

Три правила выбора

Правило Стёрджеса предполагает близость к нормальному распределению и недооценивает число бинов для больших выборок. Правило Фридмана–Дайкониса задаёт ширину бина через межквартильный размах $\text{IQR}$ — оно устойчиво к выбросам, потому что IQR их игнорирует, и обычно даёт лучший результат на реальных данных.

Считаем число бинов сами

Реализуем все три правила на stdlib и применим к выборке.

import math, statistics as st

data = [4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11,12,5,6,7,8,7,6,5,9,8,7,6,7]
n = len(data)

# правило корня
k_sqrt = math.ceil(math.sqrt(n))
# правило Стёрджеса
k_sturges = math.ceil(math.log2(n)) + 1
# Фридман-Дайконис: ширина бина -> число бинов
q = st.quantiles(data, n=4)        # [Q1, Q2, Q3]
iqr = q[2] - q[0]
h_fd = 2 * iqr / (n ** (1/3))
k_fd = math.ceil((max(data) - min(data)) / h_fd)

print("n =", n)
print("корень   :", k_sqrt, "бинов")
print("Стёрджес :", k_sturges, "бинов")
print("Фр.-Дайк.: ширина", round(h_fd, 2), "->", k_fd, "бинов")

Вывод:

n = 30
корень   : 6 бинов
Стёрджес : 6 бинов
Фр.-Дайк.: ширина 1.29 -> 7 бинов

Биннинг своими руками

Чтобы понять, что гистограмма — это просто подсчёт по интервалам, посчитаем её сами на чистом Python.

data = [4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,11,12]
k = 4
lo, hi = min(data), max(data)
width = (hi - lo) / k
counts = [0] * k
for v in data:
    idx = min(int((v - lo) / width), k - 1)   # последний бин включает hi
    counts[idx] += 1

for i, c in enumerate(counts):
    a = lo + i * width
    b = a + width
    print(f"[{a:.1f}; {b:.1f}) : {'#' * c} ({c})")

Вывод:

[4.0; 6.0) : ### (3)
[6.0; 8.0) : ####### (7)
[8.0; 10.0) : ##### (5)
[10.0; 12.0) : ### (3)

Как работает под капотом

Гистограмма — это грубая оценка плотности распределения. Высота столбца пропорциональна числу точек в интервале; если разделить на $n$ и на ширину бина, получим оценку плотности, площадь под которой равна 1 (об этом в уроке про нормировку). Выбор ширины — это компромисс смещение–дисперсия: широкие бины дают гладкую, но смещённую оценку (теряют детали), узкие — детальную, но шумную. Формулы выше минимизируют этот компромисс при разных предположениях.

Смещение–дисперсия наглядно

Выбор ширины бина — это конкретное проявление фундаментального компромисса смещение–дисперсия, который пронизывает всю статистику и машинное обучение. Широкий бин усредняет по большому интервалу: оценка устойчива (мало меняется от выборки к выборке — низкая дисперсия), но грубая, она «размазывает» детали и может скрыть две близкие моды (высокое смещение). Узкий бин чувствителен к каждой точке: он ловит тонкую структуру (низкое смещение), но шумен — случайные колебания выборки порождают ложные пики (высокая дисперсия).

Формулы вроде Фридмана–Дайкониса как раз ищут точку баланса: они учитывают и размер выборки $n$ (больше данных — можно позволить более узкие бины), и разброс данных (через IQR). Но ни одна формула не знает вашу задачу. Если вы подозреваете бимодальность, стоит сознательно взять бины поуже и проверить; если важна общая форма — пошире. Поэтому профессиональный приём — посмотреть распределение при нескольких значениях ширины, а не доверять единственному «правильному» числу.

Частые ошибки

• Бины по умолчанию без проверки — 10 бинов из коробки могут скрыть или выдумать структуру.
• Один взгляд при одном числе бинов — всегда смотрите 2–3 варианта, прежде чем делать вывод о форме.
• Слишком узкие бины на малой выборке — каждый столбик из 1–2 точек, сплошной шум.
• Неравные бины без нормировки плотности — высоты становятся несравнимыми.

Итог

• Число бинов кардинально меняет вид гистограммы.
• Стёрджес — для малых ~нормальных выборок; Фридман–Дайконис — устойчивее.
• Гистограмма — это подсчёт точек по интервалам.
• Смотрите несколько вариантов ширины бина.