Интерполяция: восстанавливаем значения между точками

У нас есть значения функции в нескольких точках — а нужно значение между ними. Это задача интерполяции.

Интерполяция — построение функции, которая проходит ровно через заданные точки и позволяет оценить значение между ними.

Зачем это нужно

Измерения почти всегда дискретны: температура раз в час, курс раз в день, датчик раз в миллисекунду. А вопросы возникают про промежуток: «какая была температура в 14:30, если меряли в 14:00 и 15:00?». Интерполяция отвечает на это, проводя гладкую кривую через известные точки. Важно не путать с экстраполяцией (выход за пределы данных — гораздо рискованнее) и с аппроксимацией (приближение, которое НЕ обязано проходить через точки).

Линейная интерполяция: простейший случай

Между двумя соседними точками (x0, y0) и (x1, y1) проводим прямую. Значение в точке x внутри отрезка:

y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)

Геометрически — «доля пути» от x0 к x1 определяет, насколько y ушёл от y0 к y1.

Реализация на чистом Python

Найдём нужный отрезок и применим формулу — всё на stdlib, реально работает:

xs = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0]
ys = [0.0, 1.0, 4.0, 9.0]   # это y = x^2 в узлах

def interp(x):
    # ищем отрезок [xs[i], xs[i+1]], содержащий x
    for i in range(len(xs) - 1):
        if xs[i] <= x <= xs[i + 1]:
            x0, x1 = xs[i], xs[i + 1]
            y0, y1 = ys[i], ys[i + 1]
            return y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)
    raise ValueError("x вне диапазона")

print("Точно  x^2 при 1.5 =", 1.5 ** 2)
print("Линейная оценка    =", interp(1.5))

Вывод:

Точно  x^2 при 1.5 = 2.25
Линейная оценка    = 2.5

Заметьте: линейная интерполяция дала 2.5 вместо точного 2.25 — прямая «срезает» кривизну параболы. Чем гуще узлы, тем меньше ошибка.

Сплайны: гладко, как лекало

Линейная интерполяция даёт «ломаную» с изломами в узлах. Чтобы было гладко, используют кубические сплайны: между каждой парой точек проводят кубический многочлен, причём так, чтобы в узлах совпадали не только значения, но и первая и вторая производные. Результат — кривая без изломов, как если бы вы гнули гибкое лекало (само слово spline — гибкая чертёжная рейка).

А в SciPy — одна строка

SciPy умеет и линейную, и сплайны (код для чтения, не запускается):

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d, CubicSpline

xs = np.array([0, 1, 2, 3])
ys = xs ** 2

f_lin = interp1d(xs, ys, kind="linear")
f_cub = CubicSpline(xs, ys)

print(f_lin(1.5))   # 2.5  — как у нас руками
print(f_cub(1.5))   # 2.25 — сплайн точно ложится на параболу

Как работает под капотом

Кубический сплайн требует решить систему уравнений: на N узлах — N−1 кубических кусков, у каждого 4 коэффициента, итого много неизвестных. Условия (значения в узлах + непрерывность первой и второй производных + краевые условия) дают ровно столько же уравнений. Получается трёхдиагональная система — её решают за O(N), очень быстро. Вот почему сплайн «чуть дороже» линейной интерполяции, но всё равно практически мгновенный даже на тысячах точек.

Частые ошибки

• Путать интерполяцию с экстраполяцией. За пределами данных кубический сплайн может «выстрелить» в абсурдные значения.
• Интерполировать шумные данные. Если в y есть шум, интерполяция честно протащит кривую через каждую помеху — лучше аппроксимация (сглаживание).
• Неотсортированные узлы. И наш код, и SciPy ждут возрастающие xs.

Итог

• Интерполяция строит функцию, проходящую через заданные точки.
• Линейная проста, но даёт изломы; кубический сплайн — гладкий, ценой решения системы.
• «Руками» легко делается линейная; сплайны и прочее — scipy.interpolate.
• Не путайте с экстраполяцией (рискованно) и аппроксимацией (не проходит через точки).