Обратная связь и ПИД-регулятор

Самый распространённый в технике способ заставить систему выйти на нужное значение и держать его.

ПИД-регулятор — закон управления с обратной связью, формирующий воздействие из трёх слагаемых: пропорционального ошибке, интеграла ошибки и её производной.

Робот измеряет текущее значение $y$ (угол, скорость, позицию), сравнивает с уставкой $r$ и вычисляет ошибку $e = r - y$. Управляющее воздействие:

$$ u(t) = K_p \, e(t) + K_i \int_0^t e(\tau)\, d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} $$

Член	Что делает
$K_p e$ — пропорциональный	тянет к цели тем сильнее, чем больше ошибка
$K_i \int e$ — интегральный	устраняет остаточную ошибку, накапливая «недотяг»
$K_d \dot e$ — дифференциальный	гасит колебания, реагируя на скорость изменения ошибки

Дискретная форма

В программе интеграл — это сумма, производная — разность за шаг $\Delta t$:

$$ u_k = K_p e_k + K_i \sum_j e_j \, \Delta t + K_d \frac{e_k - e_{k-1}}{\Delta t} $$

Симуляция выхода на уставку

Уставка $r = 1.0$, $K_p = 4$, $K_i = 1$, $K_d = 2$. Простая инерционная система с демпфированием. Смотрим, как выход $y$ приближается к 1.

Kp, Ki, Kd = 4.0, 1.0, 2.0
sp = 1.0
y, v, integ, prev = 0.0, 0.0, 0.0, 1.0
dt = 0.1
for k in range(12):
    e = sp - y
    integ += e * dt
    deriv = (e - prev) / dt
    u = Kp*e + Ki*integ + Kd*deriv
    acc = (u - 1.0*v)   # инерция с демпфированием
    v += acc * dt
    y += v * dt
    prev = e
    print(f"шаг {k:2d}: y = {y:.4f}")

Вывод:

шаг  0: y = 0.0410
шаг  1: y = 0.1100
шаг  2: y = 0.1968
шаг  3: y = 0.2933
шаг  4: y = 0.3935
шаг  5: y = 0.4928
шаг  6: y = 0.5881
шаг  7: y = 0.6772
шаг  8: y = 0.7587
шаг  9: y = 0.8318
шаг 10: y = 0.8964
шаг 11: y = 0.9524

Как работает под капотом

Каждый член отвечает за свой аспект. $K_p$ создаёт «пружину» к цели, но в одиночку оставляет статическую ошибку и может колебаться. $K_i$ «дожимает» остаток: пока ошибка не ноль, интеграл растёт и добавляет воздействие. $K_d$ работает как «амортизатор»: видит, что ошибка быстро уменьшается, и заранее тормозит, гася перерегулирование. Видно, как $y$ плавно идёт к уставке без скачков.

Частые ошибки

Integral windup: при долгом насыщении привода интеграл копит огромное значение и потом «выстреливает» — нужно ограничивать интеграл.
Слишком большой $K_d$ усиливает шум датчика (производная чувствительна к шуму).
Дифференцировать уставку вместе с ошибкой при резком изменении $r$ — даёт «дифференциальный пинок»; часто дифференцируют только $y$.

Итог

ПИД формирует воздействие из трёх членов: P (ошибка), I (накопление), D (скорость изменения).
P тянет к цели, I убирает остаточную ошибку, D гасит колебания.
В коде интеграл — сумма, производная — разность за шаг.
Главные грабли: integral windup и чувствительность D к шуму.