Кубит как вектор и сфера Блоха

Геометрическая картинка: любое состояние одного кубита — точка на сфере.

Сфера Блоха — единичная сфера, на которой каждая точка соответствует одному чистому состоянию кубита; полюса — это |0> и |1>.

От пары амплитуд к двум углам

Состояние кубита — это (a, b) с |a|^2 + |b|^2 = 1. Кажется, тут четыре действительных числа, но ограничений два: нормировка и незначимость глобальной фазы. Остаётся два параметра — два угла. Их удобно назвать theta (полярный, от 0 до пи) и phi (азимутальный, от 0 до 2пи). Тогда состояние можно записать так: a = cos(theta/2), b = e^{i·phi}·sin(theta/2). Это и есть координаты точки на сфере Блоха.

• Северный полюс (theta = 0) — состояние |0>.
• Южный полюс (theta = пи) — состояние |1>.
• Экватор — равные вероятности 0 и 1; на экваторе живут суперпозиции, различающиеся фазой phi.

        |0>  (север)
          .
         /|\
        / | \        точка на сфере = состояние кубита
       /  *  \       theta - наклон от оси |0>
      |   |   |      phi   - поворот вокруг оси
       \  |  /
        \ | /
         \|/
          '
        |1>  (юг)

Посчитаем амплитуды для конкретной точки сферы и проверим нормировку.

import cmath, math

def bloch_to_amps(theta, phi):
    a = math.cos(theta / 2)
    b = cmath.exp(1j * phi) * math.sin(theta / 2)
    return a, b

# Экватор, phi=0: это состояние |+> = (|0>+|1>)/sqrt(2)
a, b = bloch_to_amps(math.pi / 2, 0.0)
print('a =', round(a, 4))
print('b =', round(b.real, 4))
print('p0 =', round(abs(a)**2, 4), 'p1 =', round(abs(b)**2, 4))

Вывод:

a = 0.7071
b = 0.7071
p0 = 0.5 p1 = 0.5

Как работает под капотом

Сфера Блоха — не просто рисунок: на ней однокубитные гейты выглядят как повороты. Гейт X — это поворот на 180 градусов вокруг оси X, гейт Z — вокруг оси Z, гейт Адамара — поворот, переводящий полюс |0> на экватор. Поэтому однокубитную квантовую логику можно целиком понимать как вращения единичного вектора. Это мощная интуиция, которой мы воспользуемся в разделе про гейты.

Частые ошибки

• Делить угол неправильно: в формулах стоит theta/2, а не theta — иначе |0> и |1> перепутаются.
• Думать, что сфера Блоха работает для многих кубитов. Нет: она наглядна только для одного кубита; для двух уже не нарисовать так просто.
• Считать фазу phi бессмысленной — на экваторе именно phi отличает состояния, важные для интерференции.

Итог

• Чистое состояние одного кубита — точка на сфере Блоха, задаётся углами theta и phi.
• Полюса — это |0> и |1>, экватор — равновероятные суперпозиции.
• Однокубитные гейты — это повороты вектора на сфере.