Импульс и закон сохранения

В любом столкновении суммарный импульс до и после одинаков — это закон, который не знает исключений.

Импульс тела — произведение массы на скорость: $\vec p = m\vec v$; суммарный импульс замкнутой системы сохраняется.

Что такое импульс

Импульс — это «количество движения», вектор $\vec p = m\vec v$. Тяжёлый медленный грузовик и лёгкая быстрая пуля могут иметь одинаковый импульс. Важность импульса в том, что для замкнутой системы (на которую не действуют внешние силы) суммарный импульс всех тел постоянен:

$$\sum_i m_i \vec v_i = \text{const}.$$

Это следствие третьего закона Ньютона: при столкновении тела действуют друг на друга с равными и противоположными силами, поэтому изменения их импульсов равны и противоположны и взаимно гасятся. Закон сохранения импульса работает всегда — и в упругом ударе бильярдных шаров, и в слипании пластилина, и в отдаче пушки. Это делает его мощнейшим инструментом: даже не зная деталей удара, можно предсказать итог.

Отдача: импульс в действии

Пусть пушка массой $M = 500$ кг выстреливает снаряд массой $m = 5$ кг со скоростью $u = 400$ м/с. До выстрела система покоилась, суммарный импульс — ноль. Значит, и после он ноль: импульс снаряда уравновешивается отдачей пушки.

M, m, u = 500.0, 5.0, 400.0
# импульс до = 0; после: M*V + m*u = 0  ->  V = -m*u/M
V = -m*u / M
print(f"скорость снаряда: {u} м/с")
print(f"скорость отдачи пушки: {V} м/с")
print(f"импульс снаряда: {m*u} кг·м/с")
print(f"импульс пушки:   {M*V} кг·м/с")
print(f"суммарный импульс: {m*u + M*V} кг·м/с")

Вывод:

скорость снаряда: 400.0 м/с
скорость отдачи пушки: -4.0 м/с
импульс снаряда: 2000.0 кг·м/с
импульс пушки:   -2000.0 кг·м/с
суммарный импульс: 0.0 кг·м/с

Пушка откатывается со скоростью $4$ м/с — в $100$ раз медленнее снаряда, потому что в $100$ раз тяжелее. Импульсы равны по модулю ($2000$) и противоположны по знаку, их сумма — ноль, как и до выстрела. Так работает реактивное движение, отдача оружия и манёвры в открытом космосе.

Импульс силы

Есть и вторая грань понятия: импульс силы. Изменение импульса тела равно произведению силы на время её действия: $\Delta \vec p = \vec F \, \Delta t$. Это объясняет, почему подушка безопасности спасает жизнь: она растягивает время торможения, и при том же изменении импульса сила, действующая на человека, оказывается во много раз меньше. В играх тот же принцип — короткий сильный удар (взрыв) и долгий слабый толчок (ветер) меняют импульс одинаково, если совпадает произведение $F\Delta t$.

Как работает под капотом

В движке импульс — естественная величина для обработки ударов. Вместо того чтобы моделировать силы контакта на микроуровне (они огромны и длятся миллисекунды), движок применяет к телам мгновенный импульс — скачок скорости, рассчитанный из законов сохранения. Это называется impulse-based collision resolution и лежит в основе почти всех современных физических движков. Сохранение суммарного импульса при этом — встроенная гарантия физичности: если после вашей обработки столкновения сумма $m_i v_i$ изменилась, в коде ошибка.

Частые ошибки

Путать импульс и энергию. Импульс ($mv$) сохраняется всегда, кинетическая энергия ($\frac{mv^2}{2}$) — только в упругих ударах.
Забывать векторность. Импульс — вектор; в 2D сохраняются обе компоненты по отдельности.
Игнорировать знак. Отдача направлена противоположно снаряду; без учёта знака баланс не сойдётся.

Итог

Импульс $\vec p=m\vec v$ — вектор «количества движения».
В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется (следствие 3-го закона Ньютона).
$\Delta\vec p=\vec F\Delta t$: растягивая время удара, уменьшаем силу (подушка безопасности).
Движки разрешают столкновения через мгновенные импульсы, сохраняя суммарный $p$.