Закон Гука и гармонический осциллятор

Пружина — это сила, которая всегда тянет к равновесию, и именно из неё рождаются колебания.

Закон Гука: сила упругости пропорциональна смещению от положения равновесия и направлена против него: $F = -kx$.

Сила, зависящая от положения

До сих пор силы были простыми: гравитация постоянна. Пружина — первый пример силы, зависящей от положения. Закон Гука гласит:

$$F = -k x,$$

где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — смещение от равновесия. Знак минус критичен: сила всегда направлена к равновесию, она «возвращающая». Растянули вправо — тянет влево; сжали — толкает вправо. Из второго закона Ньютона $a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}x$. Это уравнение порождает самое важное движение в физике — гармонические колебания, к которым сводится всё на свете при малых отклонениях: атомы в кристалле, ток в контуре, мост на ветру.

Период колебаний

Решение уравнения $a = -\frac{k}{m}x$ — синусоида с угловой частотой $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ и периодом:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Заметьте: период не зависит от амплитуды — раскачали сильнее или слабее, время одного колебания то же. Это свойство называется изохронностью и делает гармонический осциллятор основой часов. Возьмём $k = 4$, $m = 1$: тогда $\omega = 2$, а $T = \pi \approx 3.14$ с. Проверим симуляцией.

k, m = 4.0, 1.0
x, v, dt = 1.0, 0.0, 0.05
for n in range(0, 64):
    if n % 5 == 0:
        print(f"t={n*dt:.2f}  x={x:+.3f}  v={v:+.3f}")
    a = -k/m * x
    v = v + a*dt     # полу-неявный Эйлер
    x = x + v*dt

Вывод:

t=0.00  x=+1.000  v=+0.000
t=0.25  x=+0.853  v=-0.960
t=0.50  x=+0.498  v=-1.686
t=0.75  x=+0.020  v=-1.998
t=1.00  x=-0.462  v=-1.820
t=1.25  x=-0.832  v=-1.197
t=1.50  x=-0.997  v=-0.280
t=1.75  x=-0.918  v=+0.705
t=2.00  x=-0.614  v=+1.518
t=2.25  x=-0.160  v=+1.958
t=2.50  x=+0.334  v=+1.919
t=2.75  x=+0.746  v=+1.410
t=3.00  x=+0.975  v=+0.555

Картина — чистая синусоида. Тело стартовало в $x = 1$, прошло через равновесие (около $t = 0.75$, где $x \approx 0$ и скорость максимальна по модулю), дошло до $x \approx -1$ на $t \approx 1.5$ и к $t \approx 3.0$ почти вернулось в исходную точку. Полный период $\approx 3.14$ с — ровно $\pi$, как и предсказала формула $T = 2\pi\sqrt{m/k}$.

Как работает под капотом

Гармонический осциллятор — образцовый тест интегратора, потому что у него есть точное решение (синус) и сохраняющаяся энергия. Мы специально взяли полу-неявный Эйлер: он держит амплитуду стабильной. Если повторить с явным Эйлером, амплитуда поползёт вверх с каждым колебанием — мы видели это в разделе про интеграторы. Заметьте и связь между $x$ и $v$: скорость максимальна там, где смещение нулевое (вся энергия кинетическая), и наоборот — в точках разворота скорость нулевая (вся энергия потенциальная). Этот обмен энергией и есть суть колебаний.

Частые ошибки

Потерять минус в законе Гука. Без минуса сила «отталкивает» от равновесия, и система не колеблется, а разбегается экспоненциально.
Думать, что период зависит от амплитуды. Для линейной пружины $T$ от амплитуды не зависит — это изохронность.
Брать явный Эйлер для долгих колебаний. Амплитуда будет расти; нужен симплектический метод.

Итог

Закон Гука: $F=-kx$, сила возвращает к равновесию (минус обязателен).
Движение — гармоническое: $\omega=\sqrt{k/m}$, период $T=2\pi\sqrt{m/k}$.
Период не зависит от амплитуды (изохронность линейной пружины).
Скорость максимальна в равновесии, нулевая в точках разворота — обмен энергией.