Эллиптические орбиты и законы Кеплера

Чуть измени скорость планеты — и идеальный круг вытянется в эллипс с ближней и дальней точками.

Эллиптическая орбита — замкнутая траектория тела в поле тяготения, в одном из фокусов которой находится притягивающий центр (первый закон Кеплера).

От круга к эллипсу

Круговая орбита — особый, тонко настроенный случай: нужна ровно скорость $v = \sqrt{GM/r}$. Дай планете меньше — и она не удержится на круге, а «провалится» ближе к звезде, разгонится, обогнёт её и вернётся — получится вытянутый эллипс. Иоганн Кеплер открыл это для планет Солнечной системы: все они движутся по эллипсам, в фокусе которых стоит Солнце. Ближайшая к звезде точка называется перигелием, дальняя — афелием.

Симулируем эллипс

Стартуем с $r = 1$, но дадим лишь $80\%$ круговой скорости. Проследим, как меняется расстояние $r$, и найдём перигелий и афелий.

import math
GM = 4*math.pi**2
x, y = 1.0, 0.0
vx, vy = 0.0, 0.8*math.sqrt(GM)    # медленнее круговой
dt = 0.002
rmin, rmax = 9.0, 0.0
for step in range(0, 601):
    if step % 50 == 0:
        t = step*dt; r = math.hypot(x, y)
        print(f"t={t:.2f}  x={x:+.3f}  y={y:+.3f}  r={r:.4f}")
    r = math.hypot(x, y)
    ax = -GM*x/r**3; ay = -GM*y/r**3
    vx += ax*dt; vy += ay*dt
    x += vx*dt; y += vy*dt
    r = math.hypot(x, y)
    rmin = min(rmin, r); rmax = max(rmax, r)
print(f"перигелий ~ {rmin:.4f}  афелий ~ {rmax:.4f}")

Вывод:

t=0.00  x=+1.000  y=+0.000  r=1.0000
t=0.10  x=+0.798  y=+0.468  r=0.9249
t=0.20  x=+0.207  y=+0.680  r=0.7112
t=0.30  x=-0.455  y=+0.139  r=0.4757
t=0.40  x=-0.005  y=-0.642  r=0.6416
t=0.50  x=+0.669  y=-0.578  r=0.8839
t=0.60  x=+0.983  y=-0.153  r=0.9946
t=0.70  x=+0.902  y=+0.337  r=0.9629
t=0.80  x=+0.426  y=+0.665  r=0.7897
t=0.90  x=-0.317  y=+0.417  r=0.5239
t=1.00  x=-0.237  y=-0.505  r=0.5577
t=1.10  x=+0.495  y=-0.656  r=0.8221
t=1.20  x=+0.928  y=-0.301  r=0.9759
перигелий ~ 0.4707  афелий ~ 1.0001

Расстояние $r$ теперь «дышит»: оно колеблется между афелием $1.0$ (точка старта оказалась самой дальней) и перигелием $\approx 0.47$. Орбита — вытянутый эллипс. Заметьте по координатам: около перигелия (малое $r$) планета проходит участок траектории заметно быстрее, чем у афелия. Это второй закон Кеплера: радиус-вектор заметает равные площади за равные времена, поэтому у звезды планета мчится, а вдали ползёт.

Энергия и форма орбиты

Форму орбиты определяет полная энергия. Если она отрицательна — орбита замкнута (эллипс или круг), тело связано со звездой. Если энергии хватает (она $\ge 0$) — траектория разомкнута (парабола или гипербола), тело улетает навсегда. Граница — вторая космическая скорость $v_{\text{уб}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$, в $\sqrt{2} \approx 1.41$ раза больше круговой. В наших единицах на $r = 1$ это $2\pi\sqrt{2} \approx 8.89$. Дав планете такую скорость, мы бы увидели, как она уходит в бесконечность, не возвращаясь.

Как работает под капотом

Самое замечательное: код симуляции не изменился по сравнению с круговой орбитой — те же три строки с гравитацией. Поменялись лишь начальные условия (скорость). Эллипс, парабола, гипербола — всё это разные решения одного уравнения, и симуляция выдаёт нужное автоматически, в зависимости от старта. Это иллюстрирует мощь численного подхода: одна программа охватывает всё семейство орбит, тогда как аналитически каждый тип требует отдельного разбора. Перигелий и афелий мы нашли простым отслеживанием минимума и максимума $r$ — приём, годный для любой колеблющейся величины.

Частые ошибки

Считать любую орбиту круговой. Круг — редкое исключение; малейшее отклонение скорости даёт эллипс.
Путать перигелий и афелий. Перигелий — ближняя точка (быстрое движение), афелий — дальняя (медленное).
Забывать про вторую космическую. Превысив $\sqrt{2}\,v_{\text{круг}}$, тело улетает — орбита перестаёт быть замкнутой.

Итог

Не круговая скорость даёт эллиптическую орбиту (1-й закон Кеплера: звезда в фокусе).
У перигелия планета движется быстро, у афелия медленно (2-й закон Кеплера).
Форму орбиты задаёт энергия; граница улёта — $v_{\text{уб}}=\sqrt{2GM/r}$.
Один и тот же код даёт все типы орбит — меняются лишь начальные условия.