Кинетическая и потенциальная энергия

Энергия не исчезает — она лишь перетекает из движения в положение и обратно.

Полная механическая энергия — сумма кинетической (энергии движения) и потенциальной (энергии положения); без трения она сохраняется.

Две формы энергии

Кинетическая энергия — это энергия движения, она зависит от скорости:

$$E_k = \frac{m v^2}{2}.$$

Потенциальная энергия — энергия положения в силовом поле. В поле тяжести у поверхности Земли $E_p = m g h$ (чем выше, тем больше), для пружины $E_p = \frac{k x^2}{2}$. Полная энергия — их сумма $E = E_k + E_p$. Ключевой факт: в системе без трения эта сумма постоянна. Энергия не появляется и не исчезает, а лишь перетекает между формами: брошенный вверх мяч обменивает скорость на высоту (кинетическую на потенциальную), на спуске — наоборот.

Энергия в полёте снаряда

Запустим снаряд массой $1$ кг со скоростью $(10, 15)$ м/с и на каждом шаге будем считать обе энергии и их сумму.

g, m = 9.8, 1.0
x, y = 0.0, 0.0
vx, vy = 10.0, 15.0
dt = 0.05
for step in range(0, 31):
    if step % 5 == 0:
        Ek = 0.5*m*(vx*vx + vy*vy)
        Ep = m*g*y
        print(f"t={step*dt:.2f}  y={y:6.2f}  Ek={Ek:7.3f}  Ep={Ep:7.3f}  E={Ek+Ep:7.3f}")
    vy -= g*dt
    x += vx*dt; y += vy*dt

Вывод:

t=0.00  y=  0.00  Ek=162.500  Ep=  0.000  E=162.500
t=0.25  y=  3.38  Ek=128.751  Ep= 33.149  E=161.900
t=0.50  y=  6.15  Ek=101.005  Ep= 60.295  E=161.299
t=0.75  y=  8.31  Ek= 79.261  Ep= 81.438  E=160.699
t=1.00  y=  9.85  Ek= 63.520  Ep= 96.579  E=160.099
t=1.25  y= 10.79  Ek= 53.781  Ep=105.717  E=159.499
t=1.50  y= 11.11  Ek= 50.045  Ep=108.853  E=158.898

Видно красивый обмен: по мере подъёма кинетическая энергия падает ($162.5 \to 50.0$), а потенциальная ровно настолько же растёт ($0 \to 108.9$). Сумма $E$ почти постоянна, но медленно убывает (с $162.5$ до $158.9$, около $2\%$ за $1.5$ с). Физически она обязана быть строго постоянной — небольшой дрейф вносит численный метод. Эта разница и есть мера погрешности интегратора, о чём — следующий урок.

Работа и теорема об энергии

Энергию меняет работа силы: $A = \vec F \cdot \vec s$ (сила, умноженная на перемещение вдоль неё). Теорема об изменении кинетической энергии гласит: работа всех сил равна изменению кинетической энергии. Когда сила потенциальна (гравитация, пружина), её работа лишь перекладывает энергию между $E_k$ и $E_p$, не меняя сумму. А вот трение совершает отрицательную работу, безвозвратно превращая механическую энергию в тепло — поэтому с трением полная энергия убывает по-настоящему, а не из-за метода.

Как работает под капотом

Энергия — скаляр (одно число), и это делает её идеальным индикатором состояния симуляции. Вместо того чтобы следить за четырьмя числами $x, y, v_x, v_y$, достаточно смотреть на одно $E$: если оно ведёт себя не так, как должно (растёт без трения, скачет), — что-то не так. Важно правильно выбрать нулевой уровень потенциальной энергии: $E_p = mgh$ отсчитывается от произвольно выбранной «нулевой высоты», и абсолютное значение $E$ зависит от этого выбора. Но изменения энергии от выбора нуля не зависят — а нас интересуют именно они.

Частые ошибки

Забыть про массу или квадрат скорости. $E_k = \frac{mv^2}{2}$: энергия растёт как квадрат скорости, вдвое быстрее — вчетверо больше энергии.
Смешивать формы потенциальной энергии. Для тяжести $mgh$, для пружины $\frac{kx^2}{2}$ — нельзя путать.
Ждать строгого постоянства $E$ в симуляции. Численный метод вносит дрейф; идеального сохранения нет даже без трения.

Итог

Кинетическая энергия $E_k=\frac{mv^2}{2}$, потенциальная $E_p=mgh$ или $\frac{kx^2}{2}$.
Без трения сумма $E=E_k+E_p$ сохраняется; формы перетекают друг в друга.
Работа меняет энергию; трение безвозвратно переводит её в тепло.
Энергия-скаляр — удобный одночисловой индикатор состояния симуляции.