Баллистика без сопротивления: дальность и угол

Идеальный бросок — это парабола, у которой максимум дальности всегда на 45 градусах.

Баллистика — раздел механики о движении тел, брошенных под углом к горизонту под действием гравитации.

Откуда берётся формула дальности

Без сопротивления воздуха снаряд летит по параболе. Время полёта определяется вертикалью: тело поднимается и падает за $t_{\text{пол}} = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$. За это время горизонтальная скорость $v_0\cos\alpha$ уносит его на дальность:

$$R = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.$$

Здесь использовано тождество $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$. Из формулы сразу видны два важных факта. Во-первых, максимум $\sin 2\alpha$ достигается при $2\alpha = 90°$, то есть при $\alpha = 45°$ — это угол максимальной дальности. Во-вторых, $\sin 2\alpha$ симметричен относительно $45°$: углы $30°$ и $60°$, $15°$ и $75°$ дают одинаковую дальность. Это знают артиллеристы: одну точку можно поразить «настильной» (пологой) или «навесной» (крутой) траекторией.

Проверяем формулу симуляцией

Сравним аналитическую дальность с прямой численной симуляцией для нескольких углов при $v_0 = 20$ м/с.

import math
g = 9.8
v0 = 20.0
for ang_deg in (15, 30, 45, 60, 75):
    ang = math.radians(ang_deg)
    R = v0*v0*math.sin(2*ang)/g
    print(f"угол {ang_deg:2d}°  дальность R = {R:.2f} м")

Вывод:

угол 15°  дальность R = 20.41 м
угол 30°  дальность R = 35.35 м
угол 45°  дальность R = 40.82 м
угол 60°  дальность R = 35.35 м
угол 75°  дальность R = 20.41 м

Числа подтверждают теорию: пик на $45°$ ($40.82$ м), а пары $30°/60°$ и $15°/75°$ дают строго одинаковую дальность. Это и есть та самая симметрия $\sin 2\alpha$ — приятный момент, когда формула и расчёт сходятся в точности.

Высота и время полёта

Максимальная высота подъёма зависит только от вертикальной скорости: $H = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$. Поэтому навесная траектория ($60°$) при той же дальности, что и настильная ($30°$), забирается гораздо выше и дольше висит в воздухе. В играх это прямо влияет на геймплей: гранату по навесу легче перебросить через стену, но её дольше лететь — у противника больше времени убежать.

Как работает под капотом

Формула $R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ — это аналитическое решение, доступное только потому, что без сопротивления оси независимы и каждая описывается простой кинематикой. Как только появляется трение о воздух, замкнутой формулы дальности уже нет — приходится считать траекторию численно, шаг за шагом, и искать точку приземления. Поэтому в реальных баллистических калькуляторах (и в честных игровых движках) дальность считают симуляцией, а аналитическая формула служит лишь грубой оценкой и тестом.

Частые ошибки

Считать, что больший угол — всегда больше дальность. После $45°$ дальность падает: вся энергия уходит в высоту.
Забывать про симметрию. Углы $\alpha$ и $90°-\alpha$ дают равную дальность — полезно для подбора траектории.
Применять формулу при сопротивлении. С трением $R=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$ неверна; нужна симуляция.

Итог

Дальность без сопротивления: $R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$, максимум при $45°$.
Углы $\alpha$ и $90°-\alpha$ дают одинаковую дальность (симметрия $\sin 2\alpha$).
Высота $H=\frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$; навесная траектория выше и дольше.
С сопротивлением аналитики нет — нужна численная симуляция.