Двумерные массивы и матрицы

Урок вводит двумерные массивы (матрицы) — таблицы данных со строками и столбцами — и учит их заполнять, выводить и обрабатывать.

Двумерный массив (матрица) — это таблица значений, где у каждого элемента два индекса: номер строки и номер столбца.

Зачем нужны двумерные массивы

Обычный массив — это ряд ячеек, как один этаж в доме. Но многие данные естественно укладываются в таблицу: оценки учеников по предметам (строки — ученики, столбцы — предметы), пиксели картинки, игровое поле «крестиков-ноликов», расписание. Для таких данных нужен двумерный массив — сетка из строк и столбцов. Это как многоэтажный дом: чтобы найти квартиру, нужны и номер этажа, и номер квартиры на этаже.

Двумерные массивы математики называют матрицами, и это слово вы встретите в учебниках. Не пугайтесь: это просто таблица чисел.

Объявление матрицы

Двумерный массив объявляют, указав два диапазона индексов — для строк и для столбцов:

var
  m: array[1..3, 1..4] of integer;   // 3 строки, 4 столбца

Запись array[1..3, 1..4] читается так: «таблица из 3 строк и 4 столбцов целых чисел». Всего в ней 3·4 = 12 ячеек. Первый диапазон — строки, второй — столбцы (так принято читать). К каждой ячейке обращаются по двум индексам: m[2, 3] — элемент во 2-й строке и 3-м столбце.

begin
  m[1, 1] := 5;     // верхний левый угол
  m[2, 3] := 17;    // строка 2, столбец 3
  m[3, 4] := 9;     // нижний правый угол
end.

Заполнение и вывод: два вложенных цикла

Раз у элемента два индекса, для перебора всей таблицы нужны два вложенных цикла: внешний идёт по строкам, внутренний — по столбцам. Это главный приём работы с матрицами. Заполним таблицу значениями «номер строки умножить на номер столбца» — получится таблица умножения:

rows, cols = 3, 4
m = [[0] * (cols + 1) for _ in range(rows + 1)]  # индексы с 1
for i in range(1, rows + 1):       # по строкам
    for j in range(1, cols + 1):   # по столбцам
        m[i][j] = i * j
# вывод в виде таблицы
for i in range(1, rows + 1):
    for j in range(1, cols + 1):
        print(m[i][j], end='\t')   # табуляция между числами
    print()                         # перенос строки после каждой строки

Вывод:

1	2	3	4	
2	4	6	8	
3	6	9	12	

Запомните ключевую идею вывода: внутренний цикл печатает одну строку таблицы (без перехода, через write и пробел/табуляцию), а после внутреннего цикла ставят writeln, чтобы перейти на новую строку таблицы. Без этого writeln вся матрица «слипнется» в одну линию. На Паскале: внешний for i := 1 to 3, внутри for j := 1 to 4 do write(m[i, j], ' '), а после внутреннего — writeln.

Сумма всех элементов

Чтобы сложить все элементы матрицы, применяем знакомый шаблон накопления, но с двумя циклами:

m = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
sum = 0
for i in range(3):
    for j in range(3):
        sum = sum + m[i][j]
print('Сумма всех элементов:', sum)

Вывод:

Сумма всех элементов: 45

Главная диагональ

В квадратной матрице (где строк столько же, сколько столбцов) главная диагональ — это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца: m[1,1], m[2,2], m[3,3]. Чтобы пройти по ней, нужен всего один цикл с одинаковым индексом для строки и столбца:

m = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
diag = 0
for i in range(3):
    diag = diag + m[i][i]   # оба индекса одинаковы
print('Сумма главной диагонали:', diag)

Вывод:

Сумма главной диагонали: 15

Здесь складываются 1 + 5 + 9 = 15. Побочная диагональ (из правого верхнего угла в левый нижний) задаётся условием j = N + 1 - i — полезное упражнение для самопроверки.

Попробуй сам

Дана матрица 3×3 из чисел от 1 до 9. Найдите сумму элементов первого столбца (то есть m[i, 1] для всех строк). Понадобится один цикл по строкам с фиксированным вторым индексом. Проверьте на Python:

m = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
col_sum = 0
for i in range(3):
    col_sum = col_sum + m[i][0]   # первый столбец (индекс 0 в Python)
print('Сумма первого столбца:', col_sum)

Вывод:

Сумма первого столбца: 12

Частые ошибки

• Перепутали строки и столбцы. В m[i, j] первый индекс — строка, второй — столбец. Перестановка даёт обращение к другой ячейке (а в неквадратной матрице — и выход за границы).
• Забыли writeln после внутреннего цикла. Без него вся таблица выведется в одну строку. Перенос строки ставят после прохода по столбцам.
• Один цикл вместо двух. Для полного перебора матрицы нужны два вложенных цикла; один цикл годится только для диагонали или одной строки/столбца.
• Выход за границы по одному из измерений. Оба индекса должны попадать в свои диапазоны.

Итоги

• Двумерный массив (матрица) — таблица с двумя индексами: строка и столбец; объявляется как array[1..R, 1..C] of тип.
• К элементу обращаются двумя индексами: m[строка, столбец].
• Для перебора всей матрицы нужны два вложенных цикла; вывод требует writeln после каждой строки.
• Сумма всех элементов — накопление в двух циклах; главная диагональ (m[i, i]) обходится одним циклом.
• Первый индекс — всегда строка, второй — столбец; не путайте их порядок.