Транспонирование, единичная и обратная матрицы

Транспонирование меняет строки и столбцы местами; единичная матрица — это «1», а обратная — «деление» в мире матриц.

Транспонирование Aᵀ — отражение матрицы относительно главной диагонали: элемент (i, j) становится элементом (j, i).

Транспонирование: строки ↔ столбцы

Транспонировать — значит «повернуть» таблицу: то, что было строкой, становится столбцом. Матрица m×n превращается в n×m. В ML это встречается на каждом шагу: формула линейной регрессии содержит Xᵀ·X, а скалярное произведение строго записывают как aᵀ·b.

def transpose(M):
    rows = len(M)
    cols = len(M[0])
    return [[M[i][j] for i in range(rows)] for j in range(cols)]

A = [[1, 2, 3],
     [4, 5, 6]]
AT = transpose(A)
print("A  (2x3):", A)
print("AT (3x2):", AT)

Вывод:

A  (2x3): [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
AT (3x2): [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]

Единичная матрица — это «1»

Единичная матрица I — квадратная, с единицами на главной диагонали и нулями вокруг. Её преобразование — «ничего не делать»: I·v = v. Для матриц она играет роль числа 1: A·I = A. Это опорная точка для определения обратной матрицы.

def identity(n):
    return [[1 if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)]

def matvec(M, v):
    return [sum(M[i][j] * v[j] for j in range(len(v))) for i in range(len(M))]

I = identity(3)
for row in I:
    print(row)
print("I @ [7, 8, 9] =", matvec(I, [7, 8, 9]))  # вектор не изменился

Вывод:

[1, 0, 0]
[0, 1, 0]
[0, 0, 1]
I @ [7, 8, 9] = [7, 8, 9]

Обратная матрица — это отмена

Обратная матрица A⁻¹ отменяет действие A: если A что-то преобразовала, то A⁻¹ возвращает обратно. Формально A·A⁻¹ = I. Это аналог деления: «разделить на матрицу» = «умножить на обратную». Через обратную матрицу записывают точное решение системы уравнений: x = A⁻¹·b.

Но есть нюанс: обратная существует не всегда. Если преобразование «схлопывает» пространство (например, проецирует плоскость в линию), вернуть назад нельзя — информация потеряна. Такие матрицы называют вырожденными, их определитель равен нулю. Для матрицы 2×2 обратную можно выписать формулой.

def inverse_2x2(M):
    (a, b), (c, d) = M[0], M[1]
    det = a * d - b * c
    if det == 0:
        return None   # вырожденная: обратной нет
    return [[ d / det, -b / det],
            [-c / det,  a / det]]

def matmul(A, B):
    m = len(B)
    return [[sum(A[i][k] * B[k][j] for k in range(m)) for j in range(len(B[0]))]
            for i in range(len(A))]

A = [[4, 7],
     [2, 6]]
Ainv = inverse_2x2(A)
product = matmul(A, Ainv)
# округляем, чтобы убрать крошечную погрешность чисел с плавающей точкой
product = [[round(x, 10) for x in row] for row in product]
print("A^-1 =", Ainv)
print("A * A^-1 =", product)   # должна получиться единичная

Вывод:

A^-1 = [[0.6, -0.7], [-0.2, 0.4]]
A * A^-1 = [[1.0, 0.0], [-0.0, 1.0]]

Итог

Транспонирование меняет строки и столбцы местами: (i, j) → (j, i).
Единичная матрица I — это «1» для умножения: I·v = v, A·I = A.
Обратная A⁻¹ отменяет преобразование: A·A⁻¹ = I; существует не всегда.
Вырожденная матрица (det = 0) необратима — преобразование теряет информацию.