Применения: цены акций и блуждание частиц

Что общего у молекулы воды и у цены акции на бирже? Обе на каждом шаге дёргаются в случайную сторону под действием множества мелких толчков, которые невозможно предсказать заранее. На этой аналогии выросла целая школа финансовой мысли — и её же ограничения стоили инвесторам миллиардов.

Гипотеза случайного блуждания — предположение, что изменения цены актива случайны и независимы, поэтому прошлая динамика цены не помогает предсказать её следующий шаг.

Зачем переносить модель из физики в финансы? Затем, что она даёт мощный и отрезвляющий вывод: если цены действительно блуждают случайно, то никакие графики, «фигуры» и тренды прошлого не дадут вам преимущества — следующий шаг непредсказуем в принципе. Это бьёт по самой идее «угадать рынок» и объясняет, почему большинство активных управляющих в долгую проигрывают простому индексу. Понять, где модель верна, а где ломается, — значит трезво смотреть и на физику, и на деньги.

Цена как блуждание

Возьмём ту же последовательность случайных шагов, что и в первом уроке раздела (то же зерно random.seed(7)), но стартуем не с нуля, а со 100 — будто это начальная цена акции в рублях. На каждом «дне» цена прибавляет +1 или -1.

import random
random.seed(7)
price = 100
prices = [price]
for _ in range(20):
    price += random.choice([-1, 1])
    prices.append(price)
print("Цена акции (случайное блуждание от 100):")
print(prices)
print(f"Старт {prices[0]}, финал {prices[-1]}")

Вывод:

Цена акции (случайное блуждание от 100):
[100, 101, 100, 101, 100, 99, 98, 99, 98, 97, 96, 95, 96, 97, 96, 95, 94, 95, 94, 93, 92]
Старт 100, финал 92

Сравните этот список с траекторией из урока 4.1: [0, 1, 0, 1, 0, -1, -2, ...]. Это буквально та же самая последовательность шагов — ведь зерно генератора одинаковое, — просто сдвинутая на 100 вверх. Где там было -8, здесь 100 + (-8) = 92. Цена «упала» с 100 до 92 не потому, что с компанией что-то случилось, а потому что так легли случайные шаги. На другом зерне акция точно так же могла бы «вырасти».

Гипотеза эффективного рынка

За моделью стоит экономическая идея — гипотеза эффективного рынка. Она гласит: вся доступная информация уже учтена в текущей цене. Как только выходит новость, тысячи участников мгновенно реагируют, и цена прыгает к новому справедливому уровню. Значит, будущее изменение цены зависит только от будущих, ещё неизвестных новостей — а они по определению непредсказуемы. Отсюда вывод: приращения цены случайны, и завтрашнее движение не вывести из вчерашнего графика.

Практическое следствие радикально: технический анализ «фигур» на графике не должен давать систематической прибыли, а обыграть рынок стабильно почти невозможно. Поэтому многие экономисты советуют частному инвестору не угадывать отдельные акции, а покупать широкий индексный фонд и держать его годами — комиссия мала, а «угадывание» статистически проигрывает.

Где модель ломается

Чистое случайное блуждание — это лишь первое приближение. Реальные цены устроены сложнее, и важно знать пределы модели:

Тренды и дрейф

В нашей игре +1 и -1 равновероятны, поэтому средняя цена не движется. Но рынок акций в среднем растёт десятилетиями (экономика расширяется, прибыли копятся). Это «дрейф» — постоянный сдвиг вверх поверх случайности. Реалистичная модель добавляет к блужданию небольшой положительный снос.

Скачки и кризисы

Наши шаги всегда ровно ±1. Реальные цены иногда прыгают на десятки процентов за день: обвал 1987 года, кризис 2008-го, крах 2020-го. Такие скачки случаются намного чаще, чем предсказывает аккуратная «монетка». Говорят, что распределение реальных доходностей имеет толстые хвосты: редкие экстремальные события куда вероятнее, чем в идеальной модели, и именно они приносят самые большие убытки.

Кластеризация волатильности и память

Наша модель полностью лишена памяти, но в реальности «бурные дни ходят стаями»: после резкого падения рынок ещё несколько дней лихорадит. Размах колебаний сам по себе непостоянен — спокойные периоды сменяются нервными. Этого простое блуждание не улавливает.

Как работает под капотом

Код почти дословно повторяет урок 4.1: тот же random.seed(7), тот же random.choice([-1, 1]), те же двадцать шагов. Единственное отличие — стартовое значение price = 100 вместо pos = 0. Поскольку генератор инициализирован одинаково, он выдаёт идентичную последовательность шагов, и вся траектория просто сдвигается на 100. Это наглядно показывает: «цена акции» в модели — не более чем переименованное случайное блуждание, и вся «финансовая» специфика держится на одной экономической гипотезе, а не на новой математике.

В настоящих финансовых моделях вместо сложения ±1 используют умножение на случайный множитель (геометрическое броуновское движение), чтобы цена не могла уйти в минус и чтобы проценты, а не рубли, были случайными. Но идейный скелет — то же случайное блуждание, что мы построили с нуля.

Частые ошибки

• Считать, что падение цены в примере «что-то значит». Это та же случайная последовательность, что и в уроке 4.1; на другом зерне цена выросла бы.
• Верить, что прошлый график предсказывает будущее. Гипотеза случайного блуждания утверждает ровно обратное: приращения независимы.
• Принимать модель за реальность. Настоящие цены имеют тренд, скачки, толстые хвосты и кластеры волатильности — простое блуждание их не описывает.
• Недооценивать редкие события. Толстые хвосты означают, что кризисы случаются чаще, чем кажется «по монетке», и именно они опаснее всего.
• Путать аддитивную модель (±1) с реальной мультипликативной (проценты): в жизни цена не может стать отрицательной, поэтому моделируют относительные изменения.

Итоги

• Случайное блуждание — базовая модель цены актива: приращения случайны и независимы.
• Тот же код, что в уроке 4.1, со стартом 100 даёт цену — это подчёркивает, что «акция» здесь лишь переименованное блуждание.
• Гипотеза эффективного рынка объясняет случайность: вся информация уже в цене, движет ею только непредсказуемая будущая новость.
• Практический вывод — обыграть рынок стабильно почти невозможно; разумная стратегия частника — широкий индекс надолго.
• Модель ломается на трендах, скачках, толстых хвостах и кластерах волатильности — её надо применять с пониманием границ.