Правило смесей для модуля упругости

Урок выводит и проверяет главную формулу композитов — правило смесей для модуля упругости вдоль волокон.

Правило смесей — модуль композита вдоль волокон равен взвешенной по объёмным долям сумме модулей фаз.

Главное достоинство композита — управляемая жёсткость. Зная модули волокна и матрицы и их доли, инженер заранее рассчитывает модуль композита. Формула проста, но фундаментальна.

Зачем это инженеру

При проектировании крыла или лопасти нужно попасть в заданную жёсткость. Правило смесей позволяет подобрать долю волокон под цель без проб и ошибок, экономя дорогие испытания.

Вывод формулы

Вдоль волокон волокно и матрица деформируются одинаково (равная деформация). Нагрузка распределяется пропорционально жёсткости и доле, и модуль композита равен:

$$ E_c = V_f E_f + V_m E_m $$

где $E_f$ — модуль волокна, $E_m$ — модуль матрицы, $V_f+V_m=1$. Это верхняя граница (по Фойгту). Поперёк волокон работает обратная, нижняя граница (по Рейссу):

$$ \frac{1}{E_c^{\perp}} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m} $$

Как работает под капотом

Посчитаем продольный и поперечный модуль углепластика: $E_f=230$ ГПа (углеволокно), $E_m=3{,}5$ ГПа (эпоксид).

Ef = 230.0   # ГПа, волокно
Em = 3.5     # ГПа, матрица

for Vf in (0.3, 0.5, 0.6, 0.7):
    Vm = 1 - Vf
    Ec_long = Vf*Ef + Vm*Em                 # вдоль волокон
    Ec_trans = 1.0 / (Vf/Ef + Vm/Em)        # поперёк волокон
    print("Vf =", Vf, "  E_вдоль =", round(Ec_long, 1),
          "ГПа   E_поперёк =", round(Ec_trans, 2), "ГПа")

Вывод:

Vf = 0.3   E_вдоль = 70.0 ГПа   E_поперёк = 4.96 ГПа
Vf = 0.5   E_вдоль = 116.8 ГПа   E_поперёк = 6.89 ГПа
Vf = 0.6   E_вдоль = 139.4 ГПа   E_поперёк = 8.6 ГПа
Vf = 0.7   E_вдоль = 161.2 ГПа   E_поперёк = 11.41 ГПа
Vf = 0.3   E_вдоль = 70.0 ГПа   E_поперёк = 4.96 ГПа

Разница колоссальна: вдоль волокон при $V_f=0{,}6$ модуль 139 ГПа (как у титана), а поперёк — всего 8,6 ГПа (как у дерева). Это анизотропия композита, и конструктор обязан её учитывать, ориентируя слои по направлению нагрузки.

Правило смесей работает не только для модуля, но и для плотности и (приближённо) для продольной прочности композита. Однако прочность сложнее модуля: при нагружении первым может разорваться более хрупкий компонент, и дальше нагрузку либо подхватывает второй, либо композит разрушается. Поэтому реальную прочность вдоль волокон оценивают с учётом того, какой компонент разрушается первым и сколько берёт на себя второй. Тем не менее линейная модель остаётся отличной первой оценкой и наглядно показывает, что вклад каждой фазы пропорционален её доле и собственной жёсткости. Для многослойных пакетов с разной ориентацией слоёв инженеры используют более сложную теорию ламинатов, но в её основе всё то же правило смесей.

Частые ошибки

Применять продольную формулу для нагрузки поперёк волокон — там модуль во много раз меньше.
Забывать, что $V_f+V_m=1$, и подставлять несогласованные доли.
Считать композит изотропным — он сильно зависит от направления.

Итоги

Вдоль волокон: $E_c=V_fE_f+V_mE_m$ (верхняя граница).
Поперёк волокон модуль намного меньше (нижняя граница).
Композит сильно анизотропен — слои ориентируют по нагрузке.
Правило смесей позволяет проектировать жёсткость заранее.