Подобие треугольников

Представь фотографию, которую увеличили в фоторедакторе на экране в 3 раза. Форма осталась той же самой, а размер вырос. Вот это и есть подобие: фигуры одинаковой формы, но, возможно, разного размера. В геометрии подобие треугольников — один из самых практичных инструментов: с его помощью можно измерить высоту дерева, не залезая на него, или ширину реки, не переплывая её.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны — пропорциональны (то есть отношение соответствующих сторон одинаковое для всех трёх пар). Число, которое показывает, во сколько раз один треугольник больше другого, называется коэффициентом подобия и обозначается буквой $k$.

$$ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \implies \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k $$

Если $k = 1$, треугольники не просто подобны, а равны — это частный случай. Если $k = 2$, второй треугольник ровно вдвое крупнее первого при полностью сохранённой форме.

Как и с равенством, чтобы доказать подобие, не нужно проверять все шесть величин (три угла и три стороны) — достаточно одного из трёх признаков.

Первый признак — по двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Это работает, потому что сумма углов всегда $180°$ — если два угла совпали, третий тоже автоматически совпадёт (мы это уже знаем из первого урока раздела), а значит, форма треугольников идентична.

$$ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1 \implies \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $$

Второй признак — по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1},\ \angle A = \angle A_1 \implies \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $$

Третий признак — по трём сторонам. Если все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого (с одним и тем же коэффициентом), треугольники подобны — даже без проверки углов.

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} \implies \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $$

Как это работает на практике — измерение недоступного расстояния. Древнегреческий учёный Фалес Милетский измерил высоту египетской пирамиды именно через подобие: в момент, когда его собственная тень стала равна его росту, он измерил тень пирамиды — она в тот же момент тоже стала равна её высоте. Идея в том, что солнечные лучи параллельны, поэтому человек и его тень образуют треугольник, подобный треугольнику «пирамида — тень пирамиды», с одним и тем же коэффициентом подобия в любой момент дня.

Пример. Рост человека $1.7$ м, длина его тени $2$ м. В тот же момент тень от дерева равна $12$ м. Найдём высоту дерева.

Сначала находим коэффициент подобия — во сколько раз тень дерева длиннее тени человека:

$$ k = \frac{12}{2} = 6 $$

Треугольник «дерево — тень дерева» в 6 раз крупнее треугольника «человек — тень человека», значит, и высота дерева в 6 раз больше роста человека:

$$ h_{дерева} = 1.7 \cdot 6 = 10.2 \text{ м} $$

height_person = 1.7   # рост человека, метры
shadow_person = 2.0   # длина тени человека, метры
shadow_tree = 12.0    # длина тени дерева, метры

k = shadow_tree / shadow_person
height_tree = height_person * k

print("Коэффициент подобия:", k)
print("Высота дерева:", height_tree, "м")

Вывод:

Коэффициент подобия: 6.0
Высота дерева: 10.2 м

Этим же приёмом измеряют ширину реки: встают на одном берегу, отмечают ориентир на другом, строят на своём берегу маленький «контрольный» треугольник, который заведомо подобен большому треугольнику через реку, — и измеряют только то, что доступно линейке, а недоступное расстояние вычисляют через пропорцию.

Частые ошибки. Во-первых, путают порядок вершин в записи подобия $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ — этот порядок задаёт, какая сторона какой соответствует, и перепутав его, легко посчитать неверную пропорцию. Во-вторых, при использовании второго признака забывают проверить, что угол лежит именно между теми сторонами, что и в признаке равенства — просто пропорциональных сторон без правильного угла недостаточно. В-третьих, путают коэффициент подобия сторон ($k$) с отношением площадей — площади подобных фигур относятся не как $k$, а как $k^2$ (если сторона выросла втрое, площадь выросла в девять раз), это частая ловушка в задачах.

Итог: подобные треугольники имеют одинаковую форму и пропорциональные стороны с коэффициентом $k$. Доказать подобие можно по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, или по трём сторонам — а дальше подобие превращается в мощный инструмент для вычисления расстояний, которые нельзя измерить напрямую.