Теорема Котельникова и частота Найквиста

Главное правило оцифровки: сколько отсчётов нужно, чтобы ничего не потерять.

Теорема Котельникова (на Западе — Найквиста-Шеннона): сигнал с максимальной частотой fmax полностью восстанавливается из отсчётов, если частота дискретизации fs > 2*fmax.

Это краеугольный камень всей цифровой обработки. Он отвечает на вопрос «не теряем ли мы информацию, заменяя линию точками?». Ответ: при соблюдении условия — не теряем, отсчёты содержат сигнал целиком и точно.

Почему именно вдвое

Чтобы распознать колебание, на один его период нужно хотя бы две точки: одна на «горб», одна на «впадину». Если точек меньше двух за период — мы не отличим эту частоту от более низкой. Граничная частота fs/2 называется частотой Найквиста: это самая высокая частота, которую данная fs ещё способна корректно представить.

Период синуса и минимум точек на него:

2 точки/период (минимум по Котельникову):
 o           o           o
  \         / \         /
   \       /   \       /
    o     o     o     o

1 точка/период (нарушение — частота потеряна):
 o     o     o     o     o
   все на одной высоте — колебание "исчезло"

Считаем минимальную частоту дискретизации

def min_fs(fmax):
    return 2 * fmax    # нижняя граница по Котельникову

signals = [
    ("Речь по телефону", 3400),
    ("Музыка (слух)", 20000),
    ("ЭКГ", 150),
    ("FM-радио (звук)", 15000),
]

for name, fmax in signals:
    print(f"{name:<20} fmax={fmax:>6} Гц  ->  fs > {min_fs(fmax)} Гц")

Вывод:

Речь по телефону     fmax=  3400 Гц  ->  fs > 6800 Гц
Музыка (слух)        fmax= 20000 Гц  ->  fs > 40000 Гц
ЭКГ                  fmax=   150 Гц  ->  fs > 300 Гц
FM-радио (звук)      fmax= 15000 Гц  ->  fs > 30000 Гц

На практике берут с запасом: для аудио не 40 кГц, а 44.1, чтобы антиалиасинговый фильтр успел плавно срезать частоты возле границы.

Восстановление: отсчёты содержат всё

Теорема не только говорит «можно дискретизировать», но и даёт формулу восстановления непрерывного сигнала из отсчётов через функции sinc. Проверим идею на простом случае: сигнал из двух тонов ниже Найквиста точно представляется отсчётами, а его значения между отсчётами однозначно определены.

import math

fs = 20.0           # частота дискретизации
f1, f2 = 2.0, 5.0   # обе частоты ниже fs/2 = 10 Гц -> условие выполнено

def signal(t):
    return math.sin(2 * math.pi * f1 * t) + 0.5 * math.sin(2 * math.pi * f2 * t)

# Отсчёты
samples = [round(signal(n / fs), 3) for n in range(10)]
print("Частота Найквиста:", fs / 2, "Гц")
print("Максимальная частота сигнала:", f2, "Гц  ->  условие fs>2*fmax:", fs > 2 * f2)
print("Отсчёты:", samples)

Вывод:

Частота Найквиста: 10.0 Гц
Максимальная частота сигнала: 5.0 Гц  ->  условие fs>2*fmax: True
Отсчёты: [0.0, 1.088, 0.951, 0.451, 0.588, 0.5, -0.588, -1.451, -0.951, -0.088]

Как работает под капотом

Вспомним: дискретизация копирует спектр с шагом fs. Если весь спектр сигнала лежит ниже fs/2, соседние копии не перекрываются — между ними есть «зазор». Тогда идеальный ФНЧ с границей fs/2 вырежет ровно одну исходную копию и восстановит сигнал. Если же сигнал содержит частоты выше fs/2, копии налезут друг на друга, зазора нет, и никакой фильтр уже не разделит перемешанное. Вот геометрический смысл «вдвое»: нужен зазор между копиями спектра, а он появляется ровно при fs > 2*fmax.

Частые ошибки

Считать, что fs = 2*fmax достаточно ровно. Теорема требует строгого неравенства fs > 2*fmax; на самой границе синус, попавший узлами в нули, теряется.
Брать fmax как «частоту голоса», забыв про шум. Если на входе есть высокочастотный шум выше fs/2, он тоже наложится — отсюда необходимость антиалиасингового фильтра.
Думать, что отсчёты — «приближение». При выполненном условии они содержат сигнал точно, без потерь.

Итог

Теорема Котельникова: fs > 2*fmax гарантирует точное восстановление сигнала из отсчётов.
Частота Найквиста fs/2 — верхняя граница корректно представимых частот.
Минимум две точки на период — иначе колебание не распознать.
Геометрически условие даёт зазор между копиями спектра, который и позволяет восстановить оригинал.