Основная теорема алгебры

Великий результат: в комплексных числах у любого многочлена ровно столько корней, какова его степень.

Основная теорема алгебры: любой многочлен степени $n\ge1$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ корней в $\mathbb{C}$ (с учётом кратности).

Что она утверждает

В вещественных числах число корней многочлена непредсказуемо: у $x^2+1$ их нет, у $x^2-1$ — два. В комплексных всё аккуратно: многочлен степени $n$ всегда имеет ровно $n$ корней, если считать каждый столько раз, какова его кратность. Это значит, что любой многочлен раскладывается на линейные множители:

$$P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).$$

Поле комплексных чисел называют алгебраически замкнутым именно потому, что в нём «не из чего больше извлекать корни» — любое полиномиальное уравнение решается.

Проверка на примере

Возьмём $z^3-1=0$. Степень $3$, значит корней должно быть три. Это в точности кубические корни из единицы:

import cmath, math
n = 3
korni = [cmath.exp(2j*math.pi*k/n) for k in range(n)]
for k, z in enumerate(korni):
    proverka = z**3 - 1
    print(f"корень {k}: {complex(round(z.real,3), round(z.imag,3))}, z^3-1 = {complex(round(proverka.real,3), round(proverka.imag,3))}")

Вывод:

корень 0: (1+0j), z^3-1 = 0j
корень 1: (-0.5+0.866j), z^3-1 = (-0-0j)
корень 2: (-0.5-0.866j), z^3-1 = -0j

Все три корня обращают многочлен в ноль. Их ровно три — как и обещает теорема.

Кратность корней

«С учётом кратности» означает: у $(z-2)^3=0$ формально один различный корень $z=2$, но он считается трижды, так что общее число корней всё равно $3$. Сумма кратностей всегда равна степени.

Как работает под капотом

Идея доказательства геометрическая. Рассмотрим, как многочлен отображает большую окружность на комплексной плоскости: при обходе исходной окружности образ $P(z)$ обходит начало координат $n$ раз. Если уменьшать окружность до точки, образ стягивается, и где-то по пути обязан пройти через ноль — иначе число обходов не смогло бы измениться с $n$ до $0$. Эта «топологическая» причина и гарантирует существование корня. Строгие доказательства используют комплексный анализ, но интуиция именно такая.

Частые ошибки

• Считать различные корни, забывая кратность. Считать нужно с кратностью, тогда их ровно $n$.
• Думать, что теорема даёт формулу для корней. Она утверждает их существование, но не способ найти (для $n\ge5$ формулы в радикалах вообще нет).
• Применять «ровно $n$ корней» к вещественным числам. Там это неверно — нужна именно $\mathbb{C}$.

Итог

• Многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных корней с учётом кратности.
• Любой многочлен раскладывается на линейные множители над $\mathbb{C}$.
• Комплексные числа алгебраически замкнуты — в этом их завершённость.