Комплексная плоскость

Превращаем формулу $a+bi$ в точку на плоскости и получаем мощную геометрическую интуицию.

Комплексная плоскость (плоскость Аргана) — плоскость, где число $z=a+bi$ изображается точкой с координатами $(a,b)$.

Число как точка

Самый полезный приём всего курса: перестать думать про $z=a+bi$ как про «формулу» и начать видеть в нём точку на плоскости. Горизонтальная ось — вещественная (на ней лежат обычные числа), вертикальная — мнимая. Число $3+2i$ — это точка, у которой по горизонтали $3$, по вертикали $2$.

Можно изобразить плоскость текстом. Точка $z=3+2i$ помечена символом $*$:

  Im
   |
 2-+- - - - *  (3+2i)
   |
 0-+----+----+--- Re
   0    3

Такая картинка называется диаграммой Аргана. На ней вещественные числа лежат на горизонтальной оси, а чисто мнимые ($bi$) — на вертикальной.

Модуль — это длина

Раз число стало точкой, у него появилось расстояние до начала координат. Это расстояние называют модулем и обозначают $|z|$. По теореме Пифагора:

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Например, для $z=3+4i$ модуль равен $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Проверим расчётом — функция abs в Python для комплексного числа возвращает именно модуль:

import math
z = 3 + 4j
print("|z| через abs =", abs(z))
print("|z| по Пифагору =", math.hypot(z.real, z.imag))

Вывод:

|z| через abs = 5.0
|z| по Пифагору = 5.0

Оба способа дают $5.0$ — модуль и есть длина отрезка от нуля до точки.

Сопряжение как отражение

Если у числа $z=a+bi$ поменять знак мнимой части, получится сопряжённое число $\bar{z}=a-bi$. Геометрически это отражение точки относительно вещественной оси. Сопряжению посвящён отдельный урок, но познакомиться с ним удобно уже на картинке.

Как работает под капотом

Отождествление $z\leftrightarrow(a,b)$ — не просто аналогия. Сложение комплексных чисел совпадает со сложением векторов на плоскости, а умножение на вещественное число — с растяжением вектора. Поэтому весь аппарат векторной геометрии работает для комплексных чисел «бесплатно». Именно это делает их удобными в физике: переменный ток, волну или вращение естественно представлять вектором, а вектор — комплексным числом.

Частые ошибки

• Откладывать мнимую часть по горизонтали. Вещественная часть — горизонталь, мнимая — вертикаль.
• Считать модуль «по модулю числа», как у вещественных. Для комплексного $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, а не просто «убрать знак».
• Забывать, что у чисто мнимого числа $bi$ вещественная часть равна нулю, и точка лежит строго на вертикальной оси.

Итог

• Комплексное число — это точка $(a,b)$ на плоскости Аргана.
• Модуль $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ — расстояние от точки до начала координат; в Python это abs(z).
• Сопряжение $\bar{z}=a-bi$ — отражение относительно вещественной оси.