Функции комплексной переменной

Комплексная функция превращает одну плоскость в другую; разберём это на простой $f(z)=z^2$.

Функция комплексной переменной $w=f(z)$ ставит каждой точке плоскости $z$ точку плоскости $w$ — это отображение плоскости в плоскость.

Отображение, а не график

Вещественную функцию рисуют графиком: ось $x$ и ось $y$. Для комплексной так не выйдет — и аргумент, и значение двумерны, понадобились бы четыре измерения. Поэтому комплексную функцию мыслят как отображение: берём точку $z$ на «входной» плоскости и смотрим, куда она переходит на «выходной».

Пример: возведение в квадрат

Рассмотрим $f(z)=z^2$. В показательной форме $z=re^{i\varphi}$, поэтому $z^2=r^2 e^{i2\varphi}$. Значит, эта функция возводит модуль в квадрат и удваивает аргумент. Точки удаляются (если $r\gt1$) и поворачиваются на удвоенный угол. Проверим на нескольких точках единичной окружности:

import cmath, math
for grad in [0, 30, 45, 90]:
    z = cmath.rect(1, math.radians(grad))
    w = z**2
    print(f"угол {grad:>3} -> модуль {round(abs(w),3)}, угол {round(math.degrees(cmath.phase(w)),1)}")

Вывод:

угол   0 -> модуль 1.0, угол 0.0
угол  30 -> модуль 1.0, угол 60.0
угол  45 -> модуль 1.0, угол 90.0
угол  90 -> модуль 1.0, угол 180.0

Модуль остался $1$ (точки были на единичной окружности), а углы удвоились: $30\to60$, $45\to90$, $90\to180$. Функция «наматывает» окружность на саму себя дважды.

Другие важные функции

$f(z)=1/z$ — инверсия: близкие к нулю точки уходят далеко, и наоборот.
$f(z)=e^z$ — переводит горизонтальные полосы в углы (секторы), это основа теории.
$f(z)=\bar{z}$ — отражение относительно вещественной оси.

Как работает под капотом

«Хорошие» комплексные функции (аналитические) обладают замечательным свойством: они сохраняют углы между линиями — такие отображения называют конформными. Возле любой точки они выглядят как поворот с масштабированием, то есть локально это знакомое нам преобразование $w\approx az+b$. Конформные отображения применяют в аэродинамике (расчёт обтекания крыла) и электростатике, превращая сложную геометрию в простую.

Частые ошибки

Пытаться нарисовать обычный график. Комплексную функцию изображают как отображение или раскраской плоскости.
Считать, что $z^2$ просто «увеличивает» число. Она ещё и удваивает угол — это поворот.
Забывать про модуль: при $r\gt1$ точки удаляются, при $r\lt1$ — приближаются к нулю.

Итог

Комплексная функция — отображение плоскости в плоскость.
$f(z)=z^2$ возводит модуль в квадрат и удваивает аргумент.
Аналитические функции конформны — локально это поворот с масштабом.