Что такое факториал и зачем 0! = 1?
Увидел значок n! и не понял, что это. Что такое факториал простыми словами и почему вдруг факториал нуля равен единице, а не нулю?
2 ответа
Факториал числа n (записывается n!) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
n! = 1·2·3·...·n
Примеры:
1! = 12! = 1·2 = 23! = 1·2·3 = 64! = 245! = 120
Растёт факториал очень быстро: уже 10! = 3 628 800.
Смысл: n! — это число способов расставить n различных предметов по порядку. 3 книги можно поставить на полку 3! = 6 способами.
Почему 0! = 1? Есть ровно один способ расставить «ноль предметов» — ничего не делать (пустая расстановка). Кроме того, это нужно, чтобы формулы работали без исключений. Проверь: C(n,n) = n!/(n!·0!). Если бы 0! = 0, было бы деление на ноль. А с 0! = 1 получаем C(n,n) = 1, что верно. Поэтому договорились: 0! = 1.
Удобное рекуррентное правило: n! = n·(n−1)!. Из него тоже видно, почему 0!=1: подставь n=1 → 1! = 1·0!, а 1! = 1, значит 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел (для дробных есть гамма-функция, но это уже вуз).